Apakah kelas dari semua set tertata dengan baik? (Dalam arti yang lebih luas)
Saya melihat pertanyaan Kelas Layak yang tertata dengan baik. dan saya ingin menanyakan hal berikut.
Apakah kelas dari semua himpunan diurutkan secara linier? Maksud saya, mari kita asumsikan kita menggunakan teori himpunan ZFC. (Atau aksioma ZFC + Tarski. (1) Omong-omong, apakah sistem tersebut mengandung ketidakkonsistenan yang diketahui?). Setiap alam semesta diatur dengan baik oleh teorema Zermelo.
(2) Tetapi apakah ada kelas yang merupakan bijection antara Ord dan Set?
Saya pikir kelas alam semesta tersusun secara linier. Kita dapat mempertahankan urutan di alam semesta yang lebih rendah dan menambahkan urutan perbedaan teori himpunan antara alam semesta saat ini dan alam semesta sebelumnya. (Yang juga merupakan himpunan karena itu milik alam semesta berikutnya.) (3) Apakah pernyataan saya valid?
(4) Bagaimana cara melanjutkannya atau membuktikan keteraturan Set dengan cara lain?
Yang saya inginkan hanyalah membuktikan bahwa ada elemen "minimal" dari setiap kelas yang tepat.
Jawaban
(1) Hampir semua ahli teori himpunan percaya pada konsistensi aksioma ZFC dan ZFC + Tarski (atau setara, ZFC dengan kelas yang tepat dari para kardinal yang tidak dapat diakses.) Tentu saja, kita tidak dapat membuktikan konsistensinya karena teorema ketidaklengkapan Gödel jika mereka konsisten.
(3) Faktanya, koleksi semua alam semesta (Tarski-Grothendieck) tertata dengan baik: mereka berbentuk $V_\kappa$ untuk beberapa tidak dapat diakses $\kappa$, dan kelas dari semua yang tidak dapat diakses adalah subkelas dari kelas semua ordinal. Karenanya mereka tertata dengan baik. (Perhatikan bahwa jika yang Anda maksud adalah alam semesta hanya berupa model ZFC, maka keduanya tidak tersusun secara linier.)
Namun, kami tidak dapat membuktikan kelas semua set $V$tersusun dengan baik dari fakta ini, bahkan jika kita memiliki aksioma Tarski. Anda harus memilih urutan yang tepat di setiap langkah, dan itu membutuhkan kelas yang tepat banyak pilihan, yang tidak dapat dibenarkan kecuali kita memiliki aksioma pilihan Global.
(2) Kelas dari semua himpunan yang dapat ditentukan ordinal $\mathrm{OD}$ adalah gambar bijektiva dari kelas ordinal $\mathrm{Ord}$. Faktanya, jika$X$ adalah kelas yang merupakan gambaran sifat dari $\mathrm{Ord}$di bawah fungsi kelas bijektiva yang dapat ditentukan , lalu$X\subseteq \mathrm{OD}$. Oleh karena itu jika$V\neq \mathrm{OD}$, maka tidak ada bijection yang pasti antara keduanya $\mathrm{Ord}$ dan $V$.
Bahkan jika kita mengabaikan definisi, tidak ada alasan untuk berasumsi ada bijection di antara keduanya $\mathrm{Ord}$ dan $V$. Lihat jawaban yang relevan di Mathoverflow.
(4) Diketahui bahwa mereka setara:
- $V$ memiliki ketertiban yang baik,
- Ada bijection dari $\mathrm{Ord}$ untuk $V$, dan
- Aksioma Pilihan Global.
Ada beberapa aksioma yang menyiratkan aksioma Pilihan Global: misalnya, aksioma konstruktif membuktikan adanya tatanan global kanonik. Namun, ZFC belaka tidak membuktikan aksioma Pilihan Global, bahkan jika kita mengasumsikan aksioma Tarski. Karenanya tidak ada cara untuk membuktikan Pilihan Global dari teori Anda.