Apakah kita membalik simbol pertidaksamaan saat membagi atau mengalikan dengan variabel ekspresi?

Question

Apakah kita membalik simbol pertidaksamaan saat membagi atau mengalikan dengan variabel ekspresi seperti yang kita lakukan saat mengalikan atau membagi dengan angka negatif?

Saat ini saya mengalami kebingungan tentang memahami ketidaksetaraan logaritmik.

Ada satu ketidaksetaraan yang saya tidak yakin mengapa saya salah.

$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$

1. Agar itu nyata, saya tahu itu $(2x-1)/(x-2) > 0,$ dan jadi kita harus bisa membatalkan (mengalikan kedua sisi) variabel ekspresi $(x-2).$ Tanpa mengubah simbol dari $>$ untuk $<$ Namun setelah perkalian, saya mendapatkan hasilnya $x > 1/2$ bukannya jawaban yang benar $x < 1/2.$

2. Saya juga tahu itu $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ dan jadi kita juga harus bisa menghapus variabel ekspresi $(x-2).$ Tanpa mengubah simbol dari $<$ untuk $>$ Namun setelah perkalian, saya mendapatkan hasilnya $x < -1$ bukannya jawaban yang benar $x > -1.$

Setelah menggabungkan kedua kasus dalam garis bilangan, jawaban yang benar adalah $-1 < x < 1/2,$

tapi saya mengerti $x < -1, x > 1/2,$ kecuali $x=2,$ yang diuji salah.

Saya tidak yakin apakah tidak beralihnya simbol adalah sumber kesalahan saya, itulah sebabnya saya bertanya.

Karena proses ini melibatkan perkalian atau pembagian variabel ekspresi, saya juga merasa bahwa metode saya tidak cocok karena kemungkinan solusi yang tidak relevan, dan mungkin sebaiknya menggambar dan mengisi tabel trial + error.

Terima kasih sebelumnya atas waktu dan jawaban Anda.

Answer 1

Kita punya $\frac{2x-1}{x-2}>0$. Mengalikan dengan$(x-2)^2$ di kedua sisi, kami punya

$$(2x-1)(x-2) > 0$$

dan karenanya $x < \frac12$ atau $x > 2$.

Kesalahan Anda adalah Anda berasumsi demikian $x-2>0$ pasti benar.

Kami juga tahu itu $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$

Jika $x>2$, maka kita punya $2x-1 < x-2$, yang setara dengan $x < -1$ yang bertentangan $x>2$.

Jika $x < \frac12$, maka kita punya $2x-1 > x-2$ dan karenanya $x > -1$.

Kesimpulannya adalah $-1 < x < \frac12$.