Apakah mungkin menyelesaikan persamaan ini menggunakan fungsi Lambert W?

Aug 16 2020

Saya menemukan persamaan yang perlu dipecahkan saat saya mengerjakan proyek sekolah. Saya sudah mencoba menggunakan Lambert$W$berfungsi untuk menyelesaikan persamaan berikut tetapi saya tidak berhasil. Apakah mungkin untuk dipecahkan$x$ tanpa metode numerik?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Jawaban

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

Tampaknya tidak mungkin untuk menyelesaikan ini secara umum dengan menggunakan Lambert W. Ini akan menjadi mungkin jika $a$ atau $b$ dulu $0$.

Anda dapat mencoba solusi seri jika salah satu parameter dianggap kecil. Jadi serangkaian kekuatan$k$ adalah

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

Dari sudut pandang formal, Anda bisa melakukannya.

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$yang memiliki solusi dalam hal fungsi Lambert umum .

Lihat saja persamaannya $(4)$ di kertas terkait.

Ini bagus tapi tidak terlalu berguna dari sudut pandang praktis.

Karena Anda akan membutuhkan metode numerik, Anda perlu memperkirakan untuk menemukan nol fungsi

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. Makhluk turunan pertama$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ itu dibatalkan pada $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Jika $x_*$ada, lakukan ekspansi Taylor di sekitar titik ini untuk mendapatkan perkiraan $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Mari kita coba $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Ini akan memberi $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Kemudian $x_0=1.58434$ sedangkan solusi yang tepat adalah $x=1.50069$.

Sejak kita punya $x_0$, mari kita lihat metode Newton iterates; mereka akan$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$