Apakah mungkin untuk menulis metrik spasi sebagai penyatuan terputus yang dapat dihitung dari set kompak?

Question

Membiarkan $ (X,d)$ menjadi ruang metrik dan biarkan $\mu $ jadilah Radon $\sigma$Ukuran terbatas di Borel $\sigma$-aljabar. Saya membaca bahwa mungkin untuk menemukan set kompak terputus-putus yang dapat dihitung$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$ dan a $\mu$set -null $N$ seperti yang $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

Saya telah mencoba mencapai beberapa hasil dengan menggunakan keteraturan dalam dari $\mu$, tapi tidak ada. Apakah pernyataan ini benar? Bagaimana saya bisa membuktikannya?

Answer 1

Asumsi kuncinya di sini adalah itu $\mu$adalah ukuran Radon, yang berarti ukuran reguler bagian dalam sehubungan dengan set kompak . Tanpa asumsi ini, ini tidak benar, bahkan jika$\mu$ berhingga (misalnya, ada ruang metrik yang mendukung ukuran kontinu di mana semua himpunan kompak berhingga).

Menulis $X=\bigcup_n X_n$, dimana masing-masing $X_n$adalah borel terputus dan ukuran terbatas. Kemudian secara rekursif, pilih yang kompak$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ seperti yang $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. Kemudian$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ adalah nol, dan sebagainya $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ adalah nol, dan $K_{n,m}$ jelas terputus-putus.