Apakah peta (sepenuhnya) positif didekati oleh peta normal (sepenuhnya) positif?
Membiarkan $\mathcal{H}$ menunjukkan ruang Hilbert dan $B(\mathcal{H})$ menunjukkan aljabar dari semua operator yang dibatasi $\mathcal{H}$. Dengan mengenali (Banach) ganda dari$B(\mathcal{H})$ dengan ganda ganda dari operator kelas jejak, seseorang dapat menunjukkan menggunakan hasil standar teori ruang Banach bahwa, fungsi linier terbatas $\phi$ di $B(\mathcal{H})$ bisa diperkirakan lemah$^*$topologi oleh operator kelas jejak (dibatasi). Dengan kata lain,$\phi$ didekati dengan fungsi linier normal pada $B(\mathcal{H})$. Pertanyaan saya adalah sebagai berikut:
Jika fungsional linier $\phi$adalah positif , dapat$\phi$didekati dengan fungsi linier normal positif lemah$^*$ topologi?
Selain itu, dapatkah ini digeneralisasikan menjadi peta yang sepenuhnya positif? Topologi di sini yang dipertimbangkan adalah topologi terbatas-lemah. Lebih khusus lagi, jika$M$ adalah aljabar von Neumann, maka setiap peta bisa sepenuhnya positif $\Phi:M\to B(\mathcal{H})$ didekati dengan peta normal sepenuhnya positif dalam topologi terbatas-lemah?
Beberapa referensi akan dihargai tentang topik ini karena saya baru mengenal mereka. Terima kasih.
Jawaban
Juga jawaban untuk pertanyaan kedua adalah ya , dan perkiraan dapat dipilih untuk bertemu di titik-sangat kuat.$^*$ topologi.
Pertama, dengan memilih jaring proyeksi ortogonal peringkat terbatas $p_i \in B(\mathcal{H})$ seperti yang $p_i \rightarrow 1$ sangat, peta yang sepenuhnya positif $\Phi_i : M \rightarrow B(p_i H) : \Phi_i(a) = p_i \Phi(a) p_i$ berkumpul ke $\Phi$ di titik-ultrastrong$^*$topologi. Jadi itu sudah cukup untuk menangani peta yang sepenuhnya positif$\Phi : M \rightarrow M_n(\mathbb{C})$. Ini dapat ditemukan di [BO, Corollary 1.6.3]. Oleh [BO, Proposisi 1.5.14],$$\omega : M_n(\mathbb{C}) \otimes M \rightarrow \mathbb{C} : \omega(A) = \sum_{i,j} \Phi(A_{ij})_{ij}$$adalah fungsi positif. Pilih jaring$\omega_k$ fungsi positif normal aktif $M_n(\mathbb{C}) \otimes M$ yang konvergen mengarah ke $\omega$. Sekali lagi oleh [BO, Proposisi 1.5.14], ada jaring yang sesuai dari peta yang sepenuhnya positif$$\Phi_k : M \rightarrow M_n(\mathbb{C}) : (\Phi_k(a))_{ij} = \omega_k(e_{ij} \otimes a) \; .$$ Dengan konstruksi, peta $\Phi_k$ normal dan menyatu $\Phi$ dalam topologi titik-norma.
[BO] NP Brown dan N. Ozawa, C$^*$-aljabar dan perkiraan dimensi hingga. Studi Pascasarjana dalam Matematika 88 . American Mathematical Society, Providence, 2008.
Jawaban dari pertanyaan pertama adalah ya . Ini mengikuti dari hasil yang lebih umum berikut.
Terminologi I: Ruang Banach yang dipesan. Yang saya maksud dengan ruang Banach yang dipesan sebelumnya adalah sepasang$(X,X_+)$ dimana $X$ adalah ruang Banach nyata dan $X_+$ adalah subset tertutup yang tidak kosong dari $X$ seperti yang $X_+ + X_+ \subseteq X_+$ dan $\alpha X_+ \subseteq X_+$ untuk setiap skalar $\alpha \ge 0$ (dengan kata lain: $X_+$adalah apa yang disebut baji di$X$.)
The ganda wedge dari$X_+$ adalah baji $$ X'_+ := \{x' \in X': \, \langle x',x \rangle \ge 0 \text{ for each } x \in X_+\}. $$ Catat itu $(X', X'_+)$juga merupakan ruang Banach yang dipesan sebelumnya. Apalagi untuk masing-masing$x \in X$ itu mengikuti dari teorema Hahn-Banach itu $x \in X_+$ jika dan hanya jika $\langle x', x\rangle \ge 0$ untuk setiap $x' \in X'_+$.
Dengan mengulangi prosedur ini, seseorang juga dapat menentukan irisan dua ganda $X''_+$ dari $X_+$ di $X''$.
Terminologi II: Biarkan Kutub$\langle X,Y\rangle$menjadi pasangan ganda dari dua ruang vektor nyata; dengan kata lain,$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times Y \to \mathbb{R}$ adalah peta bi-linear sedemikian rupa $X$ memisahkan $Y$ dan $Y$ memisahkan $X$ melalui peta ini.
Untuk setiap subset $A \subseteq X$ subset $$ A^\circ := \{y \in Y: \, \langle x, y \rangle \le 1 \text{ for all } x \in A \} $$ dari $Y$disebut kutub dari$A$ di $Y$. Begitu pula untuk setiap set$B \subseteq Y$ subset $$ {}^\circ B := \{x \in X: \, \langle x, y\rangle \le 1 \text{ for all } y \in B \} $$ dari $X$disebut kutub dari$B$ di $X$.
Sekarang, teorema bi-polar (lihat misalnya teorema pada halaman 126 dalam buku HH Schaefer "Ruang vektor topologi" (1971)) mengatakan sebagai berikut:
Dalil. Yang disebut bi-polar $\left({}^\circ B \right)^\circ$ dari subset $B \subseteq Y$ adalah penutupan lambung cembung $B \cup \{0\}$ sehubungan dengan topologi di $Y$ disebabkan oleh $X$ melalui pemetaan dualitas $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
Sekarang kita dapat menerapkan hasil ini ke praorder ruang Banach:
Kepadatan irisan di irisan ganda mereka Let$(X,X_+)$ menjadi ruang Banach yang dipesan sebelumnya, dan mengidentifikasi $X_+$ dengan subset dari $X''_+$ melalui evaluasi.
Dalil. Baji$X_+$ lemah${}^*$-padat di irisan dua ganda $X''_+$.
Bukti. Kami menganggap pasangan ganda$\langle X', X'' \rangle$sehubungan dengan dualitas biasa. Kemudian dengan mudah diperiksa bahwa kutub dari$X_+ \subseteq X''$ di $X'$ sama dengan baji ganda negatif $-X'_+$. Demikian pula, mudah untuk melihat kutub dari$-X'_+$ di $X''$ sama dengan baji ganda $X''_+$. Oleh karena itu, teorema bi-polar menyiratkan hal itu$X''_+$ adalah yang lemah${}^*$-penutupan $X_+$ di $X''$.
Ucapan. Saya percaya bahwa hal yang sama masih berlaku jika kita memotong irisan dengan bola satuan, yaitu perpotongan dari$X_+$ dengan unit bola lemah${}^*$-padat di persimpangan $X''_+$dengan bola unit. Saya belum memeriksa detailnya.
Aplikasi untuk pertanyaan pertama OP. Ruang angkasa$B(\mathcal{H})$ adalah kompleksitas ruang operator self-adjoint $\mathcal{H}$. Jadi untuk menerapkan hasil umum di atas, seseorang dapat memilih$X$menjadi himpunan dari semua operator kelas jejak yang menghasilkan nilai nyata saat diterapkan ke operator adjoint mandiri; kemudian$X'$ hanyalah bagian self-adjoint dari $B(\mathcal{H})$, dan $X''$ adalah himpunan dari semua fungsi linier terbatas pada $B(\mathcal{H})$yang memetakan operator self-adjoint ke nilai nyata. Irisannya$X_+$, $X'_+$ dan $X''_+$adalah kerucut standar di ruang ini. Karena kita telah melihat di atas itu$X_+$ lemah${}^*$-dalam $X''_+$, ini menghasilkan hasil yang diinginkan.