Apakah vektor eigen dari matriks simetris nyata semuanya ortogonal?

Aug 16 2020

Seperti yang saya pelajari dalam aljabar linier, matriks simetris nyata $A$ selalu memiliki vektor eigen ortogonal jadi $A$ dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Tetapi apakah vektor eigen dari matriks simetris nyata semuanya ortogonal?

Faktanya, $A$ dapat didiagonalisasi sehingga kami dapat menemukan yang dapat dibalik $P$ dan $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Tapi saya tidak bisa membuktikannya $P$ adalah ortogonal. Saya hanya dapat menemukannya $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Begitu $P^{T}PS=SP^{T}P.$Ini tidak bisa menunjukkan itu $P^{T}P=I_{n}.$

Jadi begini $P$ortogonal? Jika tidak, apa hubungannya dengan vektor eigen ortogonal?

Ngomong-ngomong saya datang masalah ini ketika saya sedang membaca catatan kuliah.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf

Saya pikir caranya untuk membuktikan matriks simetris yang memiliki vektor eigen ortogonal salah.

Setiap bantuan akan berterima kasih.

Jawaban

6 DavidC.Ullrich Aug 16 2020 at 19:42

Teorema di tautan itu mengatakan $A$"memiliki vektor eigen ortogonal" perlu dinyatakan dengan lebih tepat. (Tidak ada hal seperti vektor orthogonal, sehingga mengatakan vektor eigen ortogonal tidak cukup masuk akal. Sebuah set vektor ortogonal atau tidak, dan himpunan semua vektor eigen tidak ortogonal.)

Jelas salah untuk mengatakan dua vektor eigen adalah ortogonal, karena jika $x$ adalah vektor eigen maka begitu juga $2x$. Yang benar adalah bahwa vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen berbeda bersifat ortogonal. Dan ini sepele: Misalkan$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Kemudian$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$begitu $x\cdot y=0$.

Apakah pdf itu salah? Ada masalah serius dengan pernyataan teorema. Tetapi dengan asumsi apa yang sebenarnya dia maksud adalah apa yang saya katakan di atas, buktinya mungkin benar, karena sangat sederhana.

3 egreg Aug 16 2020 at 20:22

Memang, Anda tidak dapat membuktikan bahwa matriks yang didiagonalisasi $A$ ortogonal, karena salah.

Misalnya, ambil $A=I$(matriks identitas). Setiap matriks yang dapat dibalik$P$ mendiagonalisasi $I$, tapi tentu saja $P$ tidak perlu ortogonal.

Jika $A$ memiliki $n$ eigenvalues ​​yang berbeda (di mana $A$ adalah $n\times n$), maka pernyataan tersebut benar, karena vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen yang berbeda bersifat ortogonal (lihat jawaban David C. Ullrich ).

Jika tidak, Anda perlu mengambil dasar vektor eigen; kemudian, untuk setiap nilai eigen$\lambda$, Anda mengambil vektor eigen dalam basis yang sesuai dengan $\lambda$dan melakukan ortogonalisasi. Kemudian Anda mendapatkan basis ortogonal vektor eigen.

Dan ya, bukti di catatan kuliah salah: pakai $A=I$, argumen tersebut akan membuktikan bahwa setiap matriks yang dapat dibalik adalah ortogonal, yang jelas salah.