Apakah zero Spearman rho menyiratkan nol Kovarian?
Untuk pertanyaan tentang judul, saya akan "secara intuitif" menjawab ya, dengan argumen informal berikut:
Kovarian "mengukur kekuatan asosiasi linier" (bila diskalakan oleh produk deviasi standar) antara dua variabel, sedangkan rho Spearman "mengukur kekuatan dari asosiasi monoton. "
Asosiasi linier adalah himpunan bagian dari asosiasi monoton (bukan?), Oleh karena itu, ketika ukuran asosiasi monoton adalah nol, ukuran asosiasi linier juga harus nol.
Tapi saya telah belajar pelajaran saya (dan jadi saya bukan ancaman bagi masyarakat) tentang argumen "intuitif" yang mudah dalam Statistik. Dan upaya saya untuk memeriksa dugaan ini secara formal sejauh ini tidak membuahkan hasil.
Jadi: Apakah nol Spearman rho menyiratkan nol Kovarian?
Bisakah kita membuktikannya secara resmi, atau membantahnya bahkan dengan contoh tandingan?
UPDATE
Posting ini juga memberikan contoh bahwa tidak ada hubungan seperti itu
Jawaban
Counterexample:
X Y
1 500
2 1
3 2
4 3
5 4
Untuk nilai-nilai ini,
- Pearson $r \approx -0.70$
- Spearman $\rho = 0$
Nilai Y tunggal yang besar itu mempengaruhi kovarian lebih banyak daripada itu mempengaruhi koefisien korelasi peringkat Spearman.
Tidak. Mudah untuk melihat alasannya. Kasus penggunaan korelasi peringkat adalah ketika kita tidak puas dengan korelasi Pearson, misalnya dengan kecenderungannya untuk jatuh ke pencilan. Oleh karena itu, korelasi Spearman jelas tidak harus sesuai dengan hasil korelasi Pearson.
Kadang-kadang korelasi nol spearman bertepatan dengan korelasi nol Pearson dan akibatnya nol kovarian, tetapi ini bukan kasus umum.