Aplikasi teori bilangan klasik dari $p$nomor -adic
Saya yakin kita semua bisa setuju bahwa $p$angka -adic adalah objek yang sangat menarik dalam dirinya sendiri - sama seperti teori penilaian yang terkait erat.
Setelah membaca secara mandiri di $p$-bilangan adik selama beberapa minggu sekarang, sejauh ini saya hanya melihat satu penerapannya pada apa yang saya sebut teori bilangan klasik - yaitu bukti yang diberikan dalam Cours d'arithmétique Serre bahwa bilangan asli dapat diekspresikan sebagai jumlah dari$\leq 3$ kotak jika dan hanya jika bukan dalam bentuk $4^a(8b-1)$ untuk beberapa $a,b \in \mathbb{N}$.
Karena saya memiliki kecenderungan untuk menghargai nilai teori matematika yang lebih tinggi sebanding dengan penerapannya pada teori bilangan dasar, saya langsung bertanya-tanya apakah ada penerapan lain.
Jadi pertanyaan saya kepada komunitas adalah: Apa aplikasi yang paling menyenangkan dari $p$angka -adic dan teori penilaian untuk teori bilangan dasar?
Terimakasih banyak.
NB: Saya mengetahui bahwa sudah ada beberapa posting di forum tentang aplikasi $p$-bilangan adik, tetapi tidak ada yang mengacu pada teori bilangan dasar secara khusus.
Sunting: Saya setuju bahwa saya terlalu kabur dalam apa yang saya maksud dengan "teori bilangan dasar", jadi saya akan mencoba untuk lebih spesifik: Dengan proposisi teori bilangan "dasar" klasik, yang saya maksud adalah proposisi teori bilangan yang Fermat mungkin muncul dengan. Jadi, proposisi tentang penjumlahan tiga kuadrat di atas adalah proposisi teoretis bilangan dasar, seperti halnya Teorema Terakhir Fermat dan Konjektur Utama Kembar, sedangkan Misal Dugaan BSD atau Soal Nomor Kelas tidak.
Sunting 2: Terima kasih untuk semua jawaban di bawah ini - semuanya luar biasa! Seandainya ada yang datang dengan yang lain, saya ingin mengatakan bahwa bonus-poin diberikan untuk hasil yang sejauh ini hanya dibuktikan menggunakan teori$p$nomor -adic, atau yang menggunakan buktinya $p$angka -adic jauh lebih konseptual dan berwawasan daripada yang asli / lebih dasar.
Jawaban
Salah satu hasil klasik favorit saya menggunakan $p$Metode -adik dalam teori bilangan dasar adalah teorema Skolem-Mahler-Lech:
Ini adalah teorema tentang urutan pengulangan linier, yang merupakan urutan bilangan bulat di mana setiap suku adalah kombinasi linier tetap dari $n$yang sebelumnya. Jadi perbaiki$n$ urutannya $s_i$ ditentukan dengan memilih yang pertama $n$ istilah $$s_0,\ldots, s_{n-1}\in \mathbf Z$$ dan hubungan untuk semua $k$ $$s_{k + n} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i s_{k+i}$$ untuk diperbaiki $a_i$.
Beberapa contohnya adalah deret Fibonacci ($n = 2$,$s_0 = 0, s_1 = 1$, $a_0=a_1= 1$), dan hal-hal yang lebih sederhana seperti urutan periodik tertentu, atau urutan $s_k = k$ (sini $n=2$, $s_0 = 0, s_1=1$, $a_0 = -1, a_1= 2$). Kita dapat membuat urutan lain seperti itu dengan mudah dengan mencatat bahwa jumlah dari dua urutan pengulangan linier juga merupakan urutan pengulangan linier.
Fakta penting tentang urutan tersebut adalah bahwa fungsi pembangkitnya $$f_s = \sum_{k= 0}^\infty s_k x^k$$ selalu merupakan fungsi rasional variabel $x$ (satu polinomial dibagi dengan lainnya), di mana pembilangnya mendefinisikan suku awal $s_0, \ldots, s_{n-1}$ dan penyebut mendefinisikan hubungan perulangan.
Dari contoh yang saya sebutkan di atas, urutan fibonacci tumbuh (secara eksponensial), akhirnya urutan periodik dibatasi, dan urutannya $s_k=k$ juga tumbuh, tidak secepat fibonacci.
Satu pertanyaan yang mungkin ditanyakan adalah:
Apa set $k$ untuk itu $s_k = 0$?
dari contoh-contoh ini (dan lainnya) kita mungkin menduga bahwa himpunan ini periodik, kecuali untuk banyak pengecualian yang terbatas (bagaimanapun juga kita selalu dapat mengubah banyak suku secara terbatas dari setiap urutan pengulangan linier untuk membuat urutan dengan perilaku yang sama pada akhirnya tetapi dengan nol di mana pun kita inginkan di awal).
Bagaimana cara membuktikan ini? Langkah pertama pembuktiannya adalah dengan menggunakan fungsi pembangkit rasional$f_s$ dan tuliskan dekomposisi pecahan parsial di atas bidang tertutup aljabar (seperti $\overline {\mathbf Q}$), ini akan menjadi bentuk
$$f_s = \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{r_i} \frac{\alpha_{ij}}{(x - \beta_{i})^j} $$
untuk beberapa akar tetap $\beta_j$ dari penyebut asli $f_s$.
Sekarang menggunakan dekomposisi yang kita miliki $$f_s = \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{r_i} \alpha_{ij}{\left(\sum_{n=0}^\infty \beta_i^n x^n\right)^j} $$
apa yang diberikan ini adalah itu $$s_n = \text{some polynomial expression involving terms }\beta^n $$
Misalnya untuk deret fibonacci, ini memulihkan rumus Binet $$s_n = \frac{1}{\sqrt 5} \left(\frac{1+ \sqrt 5}2\right)^n-\frac{1}{\sqrt 5} \left(\frac{1- \sqrt 5}2\right)^n.$$ Atau untuk urutan periodik $0,1,0,1,0,1,\ldots$ ini adalah $$ s_n = 1^ n - (-1)^n$$
Jadi kami telah menulis $s_n$ sebagai jumlah dari fungsi tipe eksponensial di $n$ dengan basis yang berbeda, yang ingin kami gambarkan nol fungsi ini $n \in \mathbf N$.
Sekarang bagian ajaibnya: fungsinya $e^x$adalah fungsi analitik, dan pada domain terbatas, fungsi analitik hanya memiliki banyak angka nol yang terbatas (kecuali jika nol di semua tempat). Ini akan memberi kita banyak kendali atas angka nol$s_n$jika yang alami dibatasi. Yang mengarah ke pertanyaan yang agak aneh:
Bagaimana jika bilangan asli dibatasi? Dan fungsinya$\beta^n$ masih analitik dalam beberapa hal?
Tentu saja menggunakan nilai absolut dan metrik aktif $\mathbf Q$ dan $\mathbf C$ ini sepenuhnya salah.
Tapi di $p$angka -adic ini benar! Semua bilangan bulat dibatasi ($p$-adically) menurut norma $\le 1$. Jadi mari kita perlakukan fungsi-fungsi ini sebagai$p$fungsi -adic dan mengontrol set nol dalam beberapa cara.
Bagaimana ini membuktikan hasilnya? Fungsinya$\beta^n$ tidak $p$fungsi analitik -adic dari $n$ sendiri, tetapi mereka cukup kecil $p$Disk -adic meskipun, yang akhirnya terjadi adalah kita mendapatkan perbedaan antara kelas-kelas kesesuaian $n$ mod $p-1$ untuk beberapa orang yang dipilih dengan baik $p$ sedemikian rupa sehingga dalam setiap kelas kesesuaian hanya ada banyak angka nol yang terbatas $s_n$ atau fungsinya $s_n$identik nol pada kelas kesesuaian itu. Ini memberi kita teorema yang disebutkan di atas, bahwa nol$s_n$ bersifat periodik, kecuali untuk banyak pengecualian yang terbatas.
Saya tidak yakin apakah hasil Gauss (Legendre) memenuhi syarat sebagai "penerapan yang paling menyenangkan dari $p$nomor -adic ", tetapi memberikan itu $$ n=a^2+b^2+c^2 $$ adalah jumlah dari tiga kotak jika dan hanya jika $$ -n \text{ is a square in } \Bbb Q_2. $$ Tentu saja, ini mengatakan itu $n$ bukan dari bentuknya $4^l(8k+7)$.
Edit: Saya menyadari bahwa Anda sudah mengetahui aplikasi ini. Jadi saya mencari aplikasi lain. MO-post ini mengacu pada hasil dasar secara khusus. Beberapa dari mereka berada dalam teori bilangan dasar.
Anda menulis bahwa tidak ada "posting" di forum ini yang merujuk ke penggunaan $p$-adics dalam pengaturan teori bilangan dasar. Klaim universal dapat disanggah dengan satu contoh tandingan, jadi lihat jawaban di sini untuk beberapa penerapan dasar$p$-adics, termasuk yang saya sebutkan di sana tentang menentukan bilangan prima dalam penyebut koefisien binomial $\binom{r}{n}$ untuk $r \in \mathbf Q$ dengan menggunakan $p$kontinuitas -adik dari fungsi polinomial aktif $\mathbf Q$. Ini juga muncul di pos math.stackexchange lain di sini dan dijelaskan secara umum di sini .
Aplikasi untuk rekursi linier yang mengambil nilai-nilai tertentu (sangat mirip dengan apa yang diberikan Alex dalam jawabannya) ada di sini dan interpretasi hasil dalam hal penyelesaian persamaan Diophantine eksponensial$3^m = 1 + 2x^2$ada di lampiran di sini . Aplikasi lain di sepanjang garis yang sama, untuk solusi integral dari persamaan Diophantine$x^3 - 2y^3 = 1$, disini .
Sebuah penggunaan $p$-adics untuk menjelaskan struktur $(\mathbf Z/p^k\mathbf Z)^\times$ untuk bilangan prima ganjil $p$ (bahwa itu siklik untuk semua $k \geq 1$) ada di sini . Poin utamanya adalah menulis ulang grup sebagai hasil bagi dari grup perkalian yang sebenarnya$\mathbf Z_p^\times/(1 + p^k\mathbf Z_p)$ sehingga struktur perkalian $\mathbf Z_p^\times$dapat dieksploitasi. Sangat menarik bahwa untuk menjelaskan perilaku kelompok abelian hingga kita beralih ke a$p$kelompok kompak -adic seperti $\mathbf Z_p^\times$, pelajari, dan ambil hasil bagi dengan subkelompok terbuka. Dalam bahasa teori bilangan dasar, masalah ini akan menunjukkan modulus daya-prima ganjil memiliki "akar primitif" (istilah kuno untuk generator unit untuk beberapa modulus).
Meskipun bukan penggunaan yang sebenarnya $p$penyelesaian -adic, penggunaan lucu dari bentuk yang diperpanjang $p$nilai absolut -adik adalah bukti lemma Gauss $\mathbf Z[x]$: jika polinomial masuk $\mathbf Z[x]$ dapat direduksi dalam $\mathbf Q[x]$ maka itu dapat direduksi menjadi $\mathbf Z[x]$ dengan faktor derajat yang sama seperti di $\mathbf Q[x]$. Ide dari$p$bukti -adic adalah untuk memperpanjang $p$nilai absolut -adic dari $\mathbf Q$ untuk $\mathbf Q[x]$. Lihat disini .
Salah satu bukti standar bahwa jumlah harmonis $H_n = 1 + 1/2 + \cdots + 1/n$ bukan bilangan bulat untuk $n \geq 2$ adalah dengan menunjukkan bilangan rasional ini tidak $2$-adically integral (ada istilah unik terbesar $2$ukuran -adic lebih besar dari $1$). Lihat disini .
Dalam buku Koblitz tentang $p$analisis -adic dan fungsi-zeta, dia menggunakan $p$integrasi -adic untuk menjelaskan $p$sifat kesesuaian-kekuatan bilangan Bernoulli yang telah dibuktikan oleh Kummer, Clausen, dan von Staudt pada abad ke-19 dengan metode yang sama sekali berbeda.
Kriteria Eisenstein: jika $f=x^n +p \sum_{m=0}^{n-1} a_m x^m\in \Bbb{Z}[x]$ dengan $p\nmid a_0$ lalu akar apa pun dari $f$ di $\overline{\Bbb{Q}}_p$ harus ada penilaian $1/n$
(jika $v(\beta)>1/n$ kemudian $v(f(\beta))= v(pa_0)$, jika $v(\beta)<1/n$ kemudian $v(f(\beta))= v(\beta^n)$)
Jika $h | f$ di $\Bbb{Q}_p[x]$ kemudian $h(0)$ memiliki penilaian $\deg(h)/n$ maka $\deg(h)=0$ atau $n$ yaitu. $f$ tidak dapat direduksi dalam $\Bbb{Q}_p[x]$ dan karenanya masuk $\Bbb{Q}[x]$.
Dan Hensel lemma tentunya: diberi polinomial $\in \Bbb{Z}[x]_{monic}$, ada beberapa $k$ sedemikian rupa sehingga memiliki akar $\Bbb{Z}/p^k\Bbb{Z}$ adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk mengakar di setiap $\Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}$.
Salah satu aplikasi terkenal dari $p$bilangan -adik adalah teorema Hasse-Minkowski untuk bentuk kuadrat. Ini menyatakan bahwa jika$P$ adalah bentuk kuadrat yang tidak dapat direduksi dalam sejumlah variabel $n$, lalu persamaannya $P(x_1,\dots,x_n)=0$ memiliki solusi rasional bukan nol jika dan hanya jika solusi bukan nol dengan koefisien masuk $\mathbb{R}$ dan $\mathbb{Q}_p$ untuk setiap prime $p$.
Hasil ini adalah alat yang sangat ampuh dalam menentukan apakah persamaan semacam itu memiliki solusi rasional, karena jika $n\geq 3$, Teorema Peringatan Chevalley menyiratkan bahwa persamaan tersebut$P(x_1,\dots,x_n)=0$ memiliki modulo solusi bukan nol $p$ untuk setiap prime $p$. Menggabungkan ini dengan lemma Hensel, kita melihat bahwa satu-satunya bilangan prima yang perlu diperiksa adalah bilangan prima yang mana$P$ adalah modulo yang dapat direduksi $p$.
Jika Anda benar-benar ingin belajar dasar, kita dapat menurunkan dan menyempurnakan teorema akar rasional dengan poligon Newton.
Jika Anda belum pernah membuat poligon Newton sebelumnya, Anda mengambil polinomial Anda $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ dan kemudian tempatkan poinnya $(i,v_p(a_i))$di pesawat dan Anda bisa membayangkan melilitkan karet gelang di sekelilingnya - kurva bawah adalah poligon Newton. Lihat halaman wikipedia poligon Newton untuk gambaran bagus tentang ini dengan lebih detail.
Poligon Newton memberi tahu Anda informasi yang tepat tentang akar p-adic di $\mathbb{C}_p$, khususnya berapa banyak nilai absolut p-adic tertentu. Untuk melakukan ini, kami melihat setiap segmen garis. Kemiringan segmen ini$m$ artinya ada akar $r$ dengan $|r|_p=p^m$dan panjang proyeksi pada sumbu horizontal menunjukkan bahwa kita memiliki banyak akar. Tentu saja jumlah proyeksi panjang ini haruslah derajatnya$n$, karena kita berada di bidang tertutup secara aljabar $\mathbb{C}_p$.
Jadi, apa yang dikatakan di sini tentang akar rasional? Karena$\mathbb{Q}$ terkandung di dalamnya $\mathbb{C}_p$kita mendapatkan informasi tentang kemungkinan akar rasional juga, khususnya kita tahu bahwa bilangan rasional hanya memiliki pangkat pangkat bilangan bulat dari bilangan prima, sehingga kita dapat segera menyingkirkan kemiringan yang bukan bilangan bulat. Dalam pengertian ini kami telah menyempurnakan teorema akar rasional menjadi pembagi yang tepat dalam kandidat akar rasional kami.
Kita dapat menurunkan teorema akar rasional dengan mengingat bahwa ini menyangkut polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Ini berarti semua poin kita terletak di kuadran pertama. Sekarang kita berpikir, jika kita menetapkan titik akhir kiri dan kanan yang memungkinkan semua koefisien lain di antaranya mengambil nilai bilangan bulat, kemiringan paling negatif dan paling positif apa yang mungkin kita temukan? Kita tidak dapat membuat lereng besar secara sembarangan dengan menempatkan titik lebih tinggi, karena poligon Newton tidak akan melihatnya, dan kita hanya akan menghubungkan titik akhir dan titik awal. Sebaliknya, kita bisa langsung turun ke 0 dari$(0,v_p(a_0))$ untuk $(1,0)$ yang memberi kita kemiringan $-v_p(a_0)$ dan kami juga bisa pergi dari $(n-1,0)$ hingga $(n,v_p(a_n)$ memberikan kemiringan $v_p(a_n)$. Ini berarti kita mengetahui akar kita$r$ bisa memuaskan $p^{-v_p(a_0)} \le |r|_p \le p^{v_p(a_n)}$, yang mungkin juga ditulis $|a_0|_p \le |r|_p \le |\tfrac{1}{a_n}|_p$. Argumen yang sama berlaku untuk setiap prima, dan dengan demikian kita dapat menggabungkannya untuk mendapatkan teorema root rasional.
Dalam beberapa hal ini agak konyol, namun secara pribadi saya merasa senang melihatnya secara bergambar. Senang juga mengetahui bahwa poligon Newton cukup kuat untuk merangkum hasil itu.