Arah gaya sentripetal dalam gerakan melingkar vertikal di bawah gravitasi seragam
Pertimbangkan gerakan melingkar vertikal dari suatu massa titik yang dihubungkan ke pusat dengan tali kaku. Di sini gravitasi seragam$m\vec{g}$ tindakan.
Saya mengilustrasikan situasinya pada diagram di bawah ini.
Di sini jika kita melakukan penjumlahan vektor $\vec{T}$ dan $m\vec{g}$kemudian kita mendapatkan gaya sentripetal dari arah yang aneh. Itu seharusnya langsung menuju pusat, bukan?
Selanjutnya saya akan menguraikan gravitasi menjadi komponen radial dan tangensial. Lihat di bawah.
Jadi apa yang terjadi dengan itu $mg \sin \theta$komponen? Bukankah itu mengganggu gerakan menjadi melingkar?
- Catatan: Jika saya mencoba membuat gaya total langsung ke tengah, saya harus dengan sengaja mengubah arah tegangan, dan itu tampak sangat aneh bagi saya karena kita sedang mempertimbangkan objek yang dibatasi oleh tali. Jadi jika kita menjaganya tetap "alami" (ketegangan ke arah tengah) dapatkah kita benar-benar mengatakan bahwa benda tersebut mengalami gerakan melingkar?
- Pertanyaan lain: Saya memahami bahwa dalam situasi ini, sebagai $mg \cos \theta$perubahan besar gaya radial harus berubah, dan dengan demikian kecepatan benda harus berubah. Apakah kita menganggapnya sebagai gerakan melingkar lokal dimana untuk kecepatannya$\vec{v}(t_1)$ pada waktu tertentu $t=t_1$, gaya sentripetal $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ hanya berlaku untuk interval waktu yang sangat kecil $[t, t + dt]$?
- Merangkum dua pertanyaan di atas - kita dapat mempertimbangkan kapan objek berada di atas atau di bawah. Maka kita tidak perlu memikirkan komponen gaya karena semuanya terletak pada garis vertikal yang sama. Bisakah kita kemudian berpendapat bahwa itu adalah gerakan melingkar secara lokal untuk interval waktu yang singkat$[t, t + dt]$?
Jawaban
Dalam gerakan melingkar tidak selalu demikian $F_\text{net}=mv^2/r$. Ini hanya berlaku untuk gerakan melingkar seragam . Secara umum$mv^2/r$sama dengan komponen gaya total yang mengarah ke pusat lingkaran. Ada komponen lain yang harus Anda pertimbangkan: komponen bersinggungan dengan jalur melingkar.
Untuk gerakan planar dalam koordinat kutub kita memecah gaya total menjadi dua komponen: sentripetal (atau radial) dan tangensial:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
Dimana $r$ adalah jarak dari asalnya, $\theta$adalah sudut kutub, dan titik mewakili laju perubahan waktu. Untuk gerakan melingkar,$r$ konstan, jadi untuk gerakan melingkar, hukum kedua Newton tereduksi menjadi
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
Jadi untuk objek Anda yang bergerak dalam lingkaran vertikal yang berpusat pada titik asal dalam medan gravitasi konstan, kita dapat melihat kedua komponen tersebut (perhatikan bahwa negatif mengarah ke titik awal) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$hanya mengubah arah kecepatan, karena komponen gaya ini selalu tegak lurus terhadap kecepatan, dan$F_\theta$hanya mengubah besarnya kecepatan, karena komponen gaya ini selalu sejajar / anti-paralel dengan kecepatan.
Besar gaya total kemudian diberikan oleh $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
Yang direduksi menjadi $mv^2/r$ untuk gerakan melingkar seragam ($\ddot\theta=0$, dan $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).
Hal di atas akan meredakan kekhawatiran Anda bahwa kami hanya mempertimbangkan gerakan melingkar lokal. Ini hanyalah gerakan melingkar. Tidak perlu menimbulkan komplikasi yang tidak perlu.
$mg\sin\theta$tidak berkontribusi pada gaya sentripetal, itu adalah percepatan tangensial yang diberikan ke massa m. Hal ini menyebabkan penurunan kecepatan massa selama pendakian dan peningkatan saat turun. Ini bukan kasus gerakan melingkar yang seragam. Karena kerumitan ini kami biasanya menggunakan teorema energi kerja untuk menyelesaikan pertanyaan yang berkaitan dengan subtopik ini. Juga gaya sentripetal bukanlah penjumlahan vektor dari gaya gravitasi dan tegangan, itu adalah jumlah gaya yang diarahkan ke pusat lingkaran. Jadi gaya sentripetal sama dengan tegangan +$mg\sin\theta$ yang mana $mv^2/R$.