Arus yang diinduksi oleh medan kecepatan yang dapat dibedakan dapat dibedakan
Membiarkan $E$ menjadi a $\mathbb R$-Banach ruang, $\tau>0$ dan $v:[0,\tau]\times E\to E$ seperti yang$^1$ $$x\mapsto t\mapsto v(t,x)\tag1$$ Milik $C^{0,\:1}(E,C^0([0,\tau],E))$. Ini cukup untuk memastikan bahwa ada yang unik$X^x\in C^0([0,\tau],E)$ dengan $$X^x(t)=x+\int_0^tv(s,X^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag2$$ untuk semua $x\in E$. Sekarang asumsikan$$v(t,\;\cdot\;)\in C^1(E,E)\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag3$$ dan ${\rm D}_2v$terus menerus (bersama-sama). Sekali lagi, ini cukup untuk memastikan bahwa ada yang unik$Y^x\in C^0([0,\tau],\mathfrak L(E))$ dengan $$Y^x(t)=\operatorname{id}_E+\int_0^tw_x(s,Y^x(s))\:{\rm d}s\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau],$$ dimana$^2$ $$w_x(t,A):={\rm D}_2v(t,X^x(t))A\;\;\;\text{for }(t,A)\in[0,\tau]\times\mathfrak L(E),$$ untuk semua $x\in E$.
Saya ingin menunjukkan itu $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ adalah Fréchet dapat dibedakan dan turunannya di $x$ diberikan oleh $Y^x$ untuk semua $x\in E$.
Saya hanya dapat menunjukkan klaim ini dengan asumsi itu $v(t,\;\cdot\;)\in C^2([0,\tau],E)$ dan ${\rm D}_2^2v$ juga kontinu (bersama-sama), sejak itu teorema Taylor dapat diterapkan.
Untuk kasus umum: Let $x,h\in E$dan \ begin {persamaan} \ begin {split} Z (t) &: = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ tv \ kiri (s, X ^ {x + h} (s) \ kanan) -v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) - {\ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \: {\ rm d} s \ end {split} \ tag5 \ end {persamaan} untuk$t\in[0,\tau]$. Kita dapat menulis \ begin {persamaan} \ begin {split} & v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ left (s, X ^ x (s) \ right) - { \ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) Y ^ x (s) h \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; = v \ kiri ( s, X ^ {x + h} (s) \ kanan) -v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; - {\ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) \ kiri (X ^ {x + h} (s) -X ^ x (s) \ kanan) \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; + {\ rm D } _2v \ left (s, X ^ x (s) \ right) Z (s) \ end {split} \ tag6 \ end {persamaan} untuk semua$s\in[0,\tau]$. Membiarkan$$c_x:=\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|{\rm D}_2v\left(X^x(t)\right)\right\|_{\mathfrak L(E)}<\infty\tag7$$ dan $c_1$ menunjukkan konstanta Lipschitz dari $v$. Kemudian, \ begin {persamaan} \ begin {split} \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | \ left (X ^ {x + h} -X ^ x \ right) '(s ) \ kanan \ | _E & = \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ kiri \ | v \ kiri (s, X ^ {x + h} (s) \ kanan) -v \ kiri (s , X ^ x (s) \ kanan) \ kanan \ | _E \\ & \ le c_1 \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ kiri \ | \ kiri (X ^ {x + h} - X ^ x \ right) (s) \ right \ | _E \ le c_1e ^ {c_1t} \ left \ | h \ right \ | _E \ end {split} \ tag8 \ end {persamaan} untuk semua$t\in[0,\tau]$. Sekarang masalahnya adalah menemukan batas yang cocok untuk$v\left(s,X^{x+h}(s)\right)-v\left(s,X^x(s)\right)-{\rm D}_2v\left(s,X^x(s)\right)Y^x(s)h$. Jelas, \ begin {persamaan} \ begin {split} & \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s) \ right) -v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) - {\ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) Y ^ x (s) h \ kanan \ | _E \ \ & \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ max (c, c_1) e ^ {c_1t} \ kiri \ | h \ kanan \ | _E + c \ sup_ {s \ in [0, \: t]} \ left \ | Z (s) \ right \ | _E \ end {split} \ tag9 \ end {persamaan} untuk semua$t\in[0,\tau]$.
Panduan umum sekarang adalah untuk meminta ketidaksetaraan Gronwall. Tapi perkiraannya$(9)$ terlalu lemah untuk menyimpulkan diferensiasi Fréchet darinya, karena di sisi kanan kita perlu memiliki $\left\|h\right\|_E^2$ dari pada $\left\|h\right\|_E$ (yang merupakan kasus, menurut teorema Taylor, jika kita mengasumsikan diferensiabilitas dua kali yang disebutkan di atas).
Bisakah kita melakukan sesuatu untuk memperbaiki masalah ini?
$^1$ Begitu, $v$ adalah Lipschitz kontinu sehubungan dengan argumen kedua secara seragam sehubungan dengan argumen pertama, memiliki pertumbuhan linier paling banyak sehubungan dengan argumen kedua secara seragam terhadap argumen pertama dan (bersama-sama) kontinu.
$^2$ Untuk setiap $x\in E$, $w_x$ memiliki Lipschitz dan sifat pertumbuhan linier yang sama seperti $v$.
Jawaban
Membiarkan $$\left\|f\right\|_t^\ast:=\sup_{s\in[0,\:t]}\left\|f(s)\right\|_E\;\;\;\text{for }f:[0,\tau]\to E\text{ and }t\in[0,\tau],$$ $c_1\ge0$ dengan $$\left\|v(\;\cdot\;,x)-v(\;\cdot\;,y)\right\|_\tau^\ast\le c_1\left\|x-y\right\|_E\tag{10}$$ dan $$T_t(x):=X^x(t)\;\;\;\text{for }(t,x)\in[0,\tau]\times E.$$
Kami memerlukan hasil yang mudah diverifikasi berikut ini:
- $T_t$ bersifat bijektiva untuk semua $t\in[0,\tau]$, $$[0,\tau]\ni t\mapsto T_t^{-1}(x)\tag{11}$$ berkelanjutan untuk semua $x\in E$ dan $$\sup_{t\in[0,\:\tau]}\left\|T_t^{-1}(x)-T_t^{-1}(y)\right\|_E\le e^{c_1}\tau\left\|x-y\right\|_E\tag{12}.$$
- $$[0,\tau]\times E\ni(t,x)\mapsto T_t(x)\tag{13}$$ terus menerus (bersama-sama).
- $$\left\|X^x-X^y\right\|_t^\ast\le e^{c_1t}\left\|x-y\right\|_E\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }x,y\in E\tag{14}.$$
Sekarang biarkan $x\in E$. Saya mengklaim itu$$\frac{\left\|X^{x+h}-X^x-Y^xh\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\xrightarrow{h\to0}0\tag{15}.$$
Membiarkan $\varepsilon>0$. Sejak$(13)$ terus menerus, $$K:=\left\{\left(t,X^y(t)\right):(t,y)\in[0,\tau]\times\overline B_\varepsilon(x)\right\}$$kompak. Membiarkan$$\omega(\delta):=\sup_{\substack{(t,\:y_1),\:(t,\:y_2)\:\in\:K\\\left\|y_1-y_2\right\|_E\:<\:\delta}}\left\|{\rm D}_2v(t,y_1)-{\rm D}_2v(t,y_2)\right\|_{\mathfrak L(E)}\;\;\;\text{for }\delta>0.$$ Catat itu $\omega$tidak menurun. Sejak${\rm D}_2v$ adalah (bersama-sama) kontinu, terus menerus secara seragam $K$ dan karenanya $$\omega(\delta)\xrightarrow{\delta\to0+}0\tag{16}.$$ Dengan teorema dasar kalkulus, $$v(t,y_2)-v(t,y_1)=\int_0^1{\rm D}_2v\left(t,y_1+r(y_2-y_1)\right)(y_2-y_1)\:{\rm d}r\tag{17}$$ untuk semua $t\in[0,\tau]$ dan $y_1,y_2\in E$dan karenanya \ begin {persamaan} \ begin {split} & \ left \ | v (t, y_2) -v (t, y_1) - {\ rm D} _2v (t, y_1) (y_2-y_1) \ right \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ kiri \ | y_1-y_2 \ kanan \ | _E \ int_0 ^ 1 \ kiri \ | {\ rm D} _2v (t, y_1 + r (y_2-y_1)) - {\ rm D} _2v (t, y_1) \ kanan \ | _ {\ mathfrak L (E)} {\ rm d} r \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ kiri \ | y_1-y_2 \ kanan \ | _E \ omega \ kiri (\ kiri \ | y_1-y_2 \ kanan \ | _E \ kanan) \ end {split} \ tag {18} \ end {persamaan} untuk semua$t\in[0,\tau]$ dan $y_1,y_2\in E$ dengan $$(t,y_1+r(y_2-y_1))\in K\;\;\;\text{for all }r\in[0,1)\tag{19}.$$ Sekarang biarkan $h\in B_\varepsilon(x)\setminus\{0\}$dan \ begin {persamaan} \ begin {split} Z (t) &: = X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) -Y ^ x (t) h \\ & = \ int_0 ^ tv \ kiri (s, X ^ {x + h} (s) \ kanan) -v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) - {\ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ right) Y ^ x (s) h \: {\ rm d} s \ end {split} \ tag {20} \ end {persamaan} untuk$t\in[0,\tau]$. Perhatikan itu$^1$ $$\left(t,X^x(t)+r\left(X^{x+h}(t)-X^x(t)\right)\right)\in K\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\text{ and }r\in[0,1)\tag{21}$$dan karenanya \ begin {persamaan} \ begin {split} & \ left \ | v \ left (t, X ^ {x + h} (t) \ right) -v \ left (t, X ^ x (t) \ kanan) - {\ rm D} _2v \ kiri (t, X ^ x (t) \ kanan) \ kiri (X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ kanan) \ kanan \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le \ kiri \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t ) \ kanan \ | _E \ omega \ kiri (\ kiri \ | X ^ {x + h} (t) -X ^ x (t) \ kanan \ | _E \ kanan) \\ & \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \ le e ^ {c_1t} \ kiri \ | h \ kanan \ | _E \ omega \ kiri (e ^ {c_1t} \ kiri \ | h \ kanan \ | _E \ kanan) \ end {split} \ tag {24} \ end {persamaan} dengan$(18)$ dan $(14)$ untuk semua $t\in[0,\tau]$. Membiarkan$$a:=e^{c_1\tau}\omega\left(e^{c_1\tau}\left\|h\right\|_E\right).$$ Oleh $(6)$ dan $(24)$, \ mulai {persamaan} \ mulai {split} & \ kiri \ | v \ kiri (s, X ^ {x + h} (s) \ kanan) -v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan ) - {\ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) Y ^ x (s) h \ kanan \ | _E \\ & \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; e ^ {c_1s} \ kiri \ | h \ kanan \ | _E \ omega \ kiri (e ^ {c_1s} \ kiri \ | h \ kanan \ | _E \ kanan) + c_x \ kiri \ | Z \ kanan \ | _s ^ \ ast \ le a \ kiri \ | h \ kanan \ | _E + c_x + \ kiri \ | Z \ kanan \ | _s ^ \ ast \ end {split} \ tag { 25} \ end {persamaan} untuk semua$s\in[0,\tau]$dan karenanya \ begin {persamaan} \ begin {split} \ left \ | Z \ right \ | _t ^ \ ast & \ le \ int_0t ^ t \ left \ | v \ left (s, X ^ {x + h} (s ) \ kanan) -v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) - {\ rm D} _2v \ kiri (s, X ^ x (s) \ kanan) Y ^ x (s) h \ kanan \ | _E {\ rm d} s \\ & \ le a \ kiri \ | h \ kanan \ | _Et + c_x \ int_0 ^ t \ kiri \ | Z \ kanan \ | _s ^ \ ast {\ rm d} s \ end {split} \ tag {26} \ end {persamaan} untuk semua$t\in[0,\tau]$. Jadi, dengan ketidaksetaraan Gronwall,$$\left\|Z\right\|_t^\ast\le a\left\|h\right\|_Ete^{c_xt}\;\;\;\text{for all }t\in[0,\tau]\tag{27}$$ dan karenanya $$\frac{\left\|Z\right\|_\tau^\ast}{\left\|h\right\|_E}\le a\tau e^{c_x\tau}\xrightarrow{h\to0}0\tag{28}.$$
Ini menyelesaikan pembuktian dan kami telah menunjukkan bahwa peta $$E\to C^0([0,\tau],E)\;,\;\;\;x\mapsto X^x$$ adalah Fréchet dibedakan di $x$ dengan turunan sama dengan $Y^x$ untuk semua $x\in E$.
$^1$ Membiarkan $t\in[0,\tau]$, $r\in[0,1)$, $$z:=(1-r)X^x(t)+rX^{x+h}(t)$$ dan $$y:=T_t^{-1}(z).$$ Dengan konstruksi $$X^y(t)=z\tag{22}$$ dan karenanya $$(t,z)\in K\Leftrightarrow y\in\overline B_\varepsilon(x).$$ Oleh $(12)$ dan $(14)$, $$\left\|x-y\right\|_E=\left\|T_t^{-1}(T_t(x))-T_t^{-1}(z)\right\|_E\le e^{c_1t}\left\|T_t(x)-z\right\|_E\le e^{2c_1t}\left\|h\right\|_E\tag{23}.$$ Sejak $\left\|h\right\|_E<\varepsilon$ dan $e^{2c_1t}\le 1$, kami dapatkan $\left\|x-y\right\|_E<\varepsilon$ dan karenanya $y\in\overline B_\varepsilon(x)$.