Aturan pemotongan melibatkan set $\Gamma$tempat versus aturan deduksi alami buku teks dasar. Bagaimana tepatnya mereka berbeda?
Dalam buku teks dasar, aturan deduksi alami disajikan dengan cara berikut, katakanlah, untuk $\&$-Intro
dari $\phi$ dan $\psi$, menyimpulkan $\phi\&\psi$
atau
$(n).....\phi$
$(m)....\psi$
$\therefore$
$(p)....\phi\&\psi$.
Saya ingin tahu sejauh mana cara pernyataan berikut ini $\&$-Intro berbeda dari presentasi buku teks "biasa" di atas. Yang saya maksud adalah yang saya temukan dalam presentasi logika klasik Shapiro (https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#Dedu):
(& I) Jika Γ1⊢θ dan Γ2⊢ψ, maka Γ1, Γ2⊢ (θ & ψ).
(artinya: "jika $\theta$ diturunkan dari satu set tempat $\Gamma_1$ anf jika $\psi$ diturunkan dari satu set tempat $\Gamma_2$, kemudian $(\theta\&\psi)$ diturunkan dari satu set tempat $\Gamma_1\cup\Gamma_2$. ")
Bisakah presentasi Saphiro diistilahkan " deduksi alami "? Atau lebih tepatnya apakah ini kasus " kalkulus berurutan" ?
Selain: Apakah Anda tahu buku teks pemula tentang logika matematika yang menampilkan contoh derivasi dalam gaya Shapiro?
Jawaban
Aturan 'buku teks dasar' adalah: kapan$\phi$ dan $\psi$ dapat diturunkan, maka kita dapat menyimpulkan itu $\phi\mathop\&\psi$dapat diturunkan . Tidak disebutkan bahwa derivasi ini terjadi dalam konteks yang sama (premis dan asumsi). Aturan inferensi ini dapat diringkas sebagai$$\dfrac{~\phi\qquad\psi~}{\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$
Aturan 'kalkulus berurutan' memperluas ini ke daftar eksplisit di mana hal-hal konteks diturunkan. Aturan yang sama di atas dapat disajikan dengan konteksnya ($\Gamma$, satu set pernyataan) secara eksplisit menyatakan: $$\dfrac{~\Gamma\vdash\phi\qquad\Gamma\vdash\psi~}{\Gamma\vdash\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$
Kami kemudian dapat memperluas aturan tersebut menjadi: kapan$\phi$ dan $\psi$dapat diturunkan dalam konteks$\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$masing-masing, maka kita dapat menyimpulkan itu$\phi\&\psi$dapat diturunkan dalam konteks bersatu,$\Gamma_1\cup\Gamma_2$.
$$\dfrac{~\Gamma_1\vdash\phi\qquad\Gamma_2\vdash\psi~}{\Gamma_1\cup\Gamma_2\vdash\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$
Singkat cerita: presentasi tingkat lanjut mengatakan hal yang sama dengan presentasi dasar, tetapi dengan beberapa detail tambahan yang ditambahkan.