Bagaimana cara mengetahui apakah ini sama?

Aug 17 2020

Dalam artikel wikipedia untuk persamaan Kubik , akar dapat diperoleh dengan:

$-\frac{1}{3a}(b+C+\frac{\Delta_0}{C})$

Dimana $\Delta_0=b^2-3ac$ dan $C=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1\pm\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}$. Juga,$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$.

Di situs web lain , ada solusi root lain:

$$\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}$$

Saya telah menempatkan yang terakhir di Wolphram | Alpha untuk mengevaluasinya. itu$\Delta_1$bisa dilihat di dalamnya; tetapi saya tidak tahu bagaimana cara mengetahuinya dan solusi sebelumnya adalah sama.

Jawaban

3 AndyWalls Aug 24 2020 at 03:02

Menetapkan:

$$\begin{align*} x_N &= -\dfrac{b}{3a} \quad \text{(average of all 3 roots, x-value of inflection point)} \\ \\ \delta^2 &= \dfrac{b^2-3ac}{9a^2} \quad \mathrm{(x \; distance^2 \; from \;} x_N \; \text{to the 2 turning points)}\\ \\ y_N &= f(x_N) = \dfrac{2b^3}{27a^2}-\dfrac{bc}{3a} +d \quad \text{(y-value of inflection point)}\\ \\ h &= 2a\delta^3 \quad \mathrm{(y \; distance \; from \;} y_N \; \text{to the 2 turning points)} \\ \end{align*}$$

(Lihat gambar 1 dalam makalah ini oleh Nickalls: http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf)

Ekspresi kedua yang Anda sajikan kemudian dapat ditulis sebagai

$$x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N - \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } $$

atau untuk $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Pada ekspresi pertama yang Anda tunjukkan, kami punya

$$\begin{align*} \Delta_0 & = 9a^2 \delta^2 \\ \\ \Delta_1 &= 27a^2 y_N \\ \\ C &= -3a \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N \mp \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }\\ \end{align*}$$

sehingga ekspresi itu menjadi

$$ x_N + \sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) } + \dfrac{\delta^2}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{2a}\left(-y_N + \sqrt{y_N^2 - h^2}\right) }}$$

atau untuk $h \ne 0$,

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} }\right) $$

yang setelah mengalikan pembilang dan penyebut suku terakhir itu dengan tanda kurung $$\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }}$$

menjadi

$$x_N + \delta\left(\sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} + \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} + \sqrt[3]{\dfrac{-y_N}{h} - \sqrt{\dfrac{y_N^2}{h^2} - 1 }} \right) $$

Jadi ya, kedua ekspresi untuk akar kubik yang Anda temukan itu setara.

Sekarang saya mendorong Anda untuk membuang semua solusi klasik untuk akar kubik , dan sebagai gantinya mempelajari pendekatan Nickalls seperti yang disajikan oleh Nickalls dan dibangun oleh Holmes:

http://www.nickalls.org/dick/papers/maths/cubic1993.pdf

https://users.math.msu.edu/users/newhous7/math_235/lectures/cubic_gc_holmes.pdf