Bagaimana cara menguraikan operator ini?
Bagaimana cara memecahkan $\beta_k$ di: $e^{\alpha_1 G_1 + \alpha_2 G_2 +\alpha_3 G_3 } =e^{\beta_1 G_1} e^{\beta_2 G_2} e^{\beta_3 G_3} e^{\beta_4 G_4}$? Perhatikan tidak ada$\alpha_4$ istilah.
( Juga, apakah solusi bahkan ada untuk masalah ini? Mengacu pada jawaban oleh MoisheKohan di Mengurai dan menyusun ulang eksponensial operator dari kelompok Lie )
Sini $G_k$ untuk m $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})=\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\oplus\mathbb{C}$ Lie aljabar:
$[G_1,G_2]=0,\\ [G_1,G_3]=[G_3,G_2]=G_4,\\ [G_1,G_4]= [G_4,G_2]=G_3,\\ [G_3,G_4]=-2G_1+2G_2$
Ini memiliki representasi: \ begin {persamaan}\begin{aligned} G_1 &= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\\ G_2 &= \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\\ G_3 &= \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\ G_4 &= \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{aligned}\ end {persamaan}
Menggunakan representasi ini saya berakhir dengan persamaan matriks: \ begin {persamaan}\begin{aligned} \begin{pmatrix}e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\left[\cosh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)+\frac{(\alpha_1-\alpha_2)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)\right]&\frac{2e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\alpha_3\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\\\frac{2e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\alpha_3\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}&e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\left[\cosh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)-\frac{(\alpha_1-\alpha_2)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)\right]\end{pmatrix} &= LHS \end{aligned}\ end {persamaan}
dan \ begin {persamaan}\begin{aligned} RHS &= \begin{pmatrix}e^{\beta_1}\left(\cos\beta_4\cosh\beta_3-\sin\beta_4\sinh\beta_3\right)&e^{\beta_1}\left(\sin\beta_4\cosh\beta_3+\cos\beta_4\sinh\beta_3\right)\\e^{\beta_2}\left(-\sin\beta_4\cosh\beta_3+\cos\beta_4\sinh\beta_3\right)&e^{\beta_2}\left(\cos\beta_4\cosh\beta_3+\sin\beta_4\sinh\beta_3\right)\end{pmatrix} \end{aligned}\ end {persamaan}
Jawaban
Saya hanya menulis ini untuk menghindari karangan bunga komentar dorong-dan-parry, dan untuk mengingatkan Anda tentang metode standar. Latihan standar yang mungkin telah Anda bahas dalam fisika spin 1/2 hingga matriks Pauli adalah sebagai berikut.
Pertama-tama bersihkan rumus dan parameter yang tampaknya membuat Anda kewalahan.$$ G_3=\sigma_1; ~~G_4=i\sigma_2; ~~2G_1=\sigma_3+ I; ~~2G_2=I-\sigma_3; $$ Dengan demikian jelaslah bahwa $G_1+G_2$ berada di tengah aljabar Lie Anda, matriks identitas 2x2, dan faktor-faktor dari masalah: itu harus dihilangkan dengan prasangka ekstrim.
Tiga elemen Aljabar Lie yang tersisa tidak memiliki jejak, begitu juga dengan elemen grup $sl(2)$sekarang dipetakan ke eksponensial dari matriks 2x2 tanpa jejak. Itu adalah,$$ e^{(\alpha_1 + \alpha_2)/2} e^{(\alpha_1-\alpha_2) \sigma_3/2 + \alpha_3 \sigma_1 } =e^{(\beta_1 +\beta_2)/2} e^{(\beta_1 -\beta_2)\sigma_3/2} e^{\beta_3 \sigma_1} e^{i\beta_4 \sigma_2} . $$ Artinya, setelah Anda menghargainya $\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2$, satu α dan satu β adalah redundan, dan dapat dihilangkan. Lakukan itu, perkenalkan variabel prima untuk setengah perbedaan, untuk dipecahkan$$ e^{\alpha' \sigma_3 + \alpha_3 \sigma_1 } = e^{\beta' \sigma_3} e^{\beta_3 \sigma_1} e^{i\beta_4 \sigma_2} . $$Sekarang, mengingat perluasan landasan dari vektor Pauli yang ditambahkan pada tautan WP yang disediakan, lakukan perkalian pada kanan atas dan samakan dengan perluasan pada kiri. Satu kombinasi dari 3 β yang tersisa akan dibatasi menjadi nol: Secara khusus koefisien dari$\sigma_2$, di RHS, yang tidak ada di LHS - apakah Anda mengerti mengapa? Jadi hanya ada dua β s untuk diselesaikan untuk dua α s.
Jika saya jadi Anda, saya akan menganggap sisa dua α saya murni khayalan, jadi LHS adalah elemen kelompok su (2) ; dan$\beta_4$ nyata, sementara $\beta_3$ dan $\beta'$imajiner murni, jadi Anda hanya menyusun tiga elemen su (2) di sebelah kanan, tiga matriks kesatuan 2x2, ke matriks kesatuan terbatas di kiri.
Izinkan saya merekam jawaban berdasarkan komentar saya tanpa menjelaskan secara detail:
Pada bilangan kompleks, soal ini tidak memiliki solusi untuk nilai umum $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
Untuk nilai "generik" dari $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$masalahnya memang ada solusinya dan, pada prinsipnya, bahkan ada algoritme untuk menemukannya. Di sini "generik" berarti: Adanya subvarietas kompleks-analitik$A\subset {\mathbb C}^3$ (dengan pelengkap tidak kosong) seperti itu selama $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\notin A$, ada solusinya. Bahkan lebih: Ada sistem persamaan polinomial$P(M)=0$ (dengan koefisien kompleks) di kompleks $2\times 2$ matriks $M$ seperti itu jika $M$ memuaskan $P(M)\ne 0$, maka Anda dapat menemukan file $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb C}$ seperti yang $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$ Sekali lagi, pada prinsipnya seseorang dapat menuliskan persamaan tersebut $P$ secara eksplisit, tetapi saya tidak akan melakukan ini (bahkan tidak bertanya).
Jawabannya sangat berbeda jika Anda mempertimbangkan koefisien nyata:
Untuk setiap matriks nyata 2-oleh-2 yang dapat dibalik $M$ ada bilangan real $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb R}$ seperti yang $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$
Kunci dari pembuktiannya adalah dengan mempertimbangkan transformasi linear-fraksional $$ \gamma: z\mapsto \frac{az+b}{cd +d}, z\in {\mathbb C} $$ sesuai dengan matriks (dengan koefisien nyata) $$ \left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}\right] $$ memuaskan $ad-bc=1$. Peta$\gamma$ kirim bidang setengah atas yang kompleks $U=\{z: Im(z)>0\}$ untuk dirinya sendiri dan mempertahankan metrik hiperbolik $U$. Transformasi fraksional linier$\gamma_1, \gamma_3$ sesuai dengan matriks $\exp(\beta_1 G_1), \exp(\beta_3 G_3)$bersifat hiperbolik , sedangkan$\gamma_4$ sesuai dengan matriks $\exp(\beta_4 G_4)$adalah elips . Setiap transformasi pecahan linier hiperbolik$\gamma$ dari $U$mempertahankan geodesik hiperbolik $L_\gamma\subset U$ dan bertindak $L_\gamma$sebagai terjemahan intrinsik. Geodesik ini disebut sumbu dari$\gamma$. Sebaliknya, transformasi fraksional linier eliptik memiliki titik tetap yang unik di dalam$U$. (Transformasi$\gamma_4$ akan memperbaiki intinya $i\in U$.)
Ada banyak tempat di mana staf ini dibahas, misalnya
Anderson, James W., Hyperbolic geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series. London: Springer (ISBN 1-85233-934-9/pbk). xi, 276 p. (2005). ZBL1077.51008.
Now, the key property that $\gamma_1, \gamma_3$ satisfy is that their axes intersect in $U$. Using this one verifies that for any pair of points $z, w\in U$ there are (real) parameters $\beta_1, \beta_3$ such that $$ \gamma_1 \gamma_3(z)=w. $$ (In contrast, this existence property fails if the axes do not intersect.) Finding such $\gamma_1, \gamma_3$ amounts mostly to computing the intersection point (in $U$) between two circles in the complex plane, so it can be done constructively. These circles (more precisely, intersections of the circles with $U$) are certain orbits of 1-parameter groups of linear fractional transformations containing $\gamma_1, \gamma_3$.
Using this, one verifies that for each linear-fractional transformation $\gamma$, there are (real) parameters $\beta_1, \beta_3, \beta_4$ such that $$ \gamma= \gamma_1 \gamma_3 \gamma_4. $$ Namely, consider $w=\gamma(i)$ and find $\gamma_1, \gamma_3$ such that $$ \gamma_1 \gamma_3(i)=w. $$ Then $\gamma_3^{-1}\gamma_1^{-1}\gamma$ will fix $i$ and, hence will equal $\gamma_4$ for some value of $\beta_4$.
From this, one concludes that for every real matrix $M\in GL(2, {\mathbb R})$ there are real parameters $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb R}$ such that $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$ Each of the steps in this argument is not hard but requires a proof and I will not attempt to write one.