Bagaimana cara menunjukkan ketidaksetaraan segitiga dan bola terbuka itu adalah ideal kompak?
Di atas cincin$F_p[[X]]$deret formal dengan koefisien di lapangan dengan$p$elemen kami memiliki metrik$$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$Saya punya dua masalah
Masalah dengan menunjukkan pertidaksamaan segitiga . Saya hanya berhasil melihat tampilannya$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$Saya mencoba menerapkan logaritma ke kedua sisi, tetapi tanpa efek. Saya juga tidak tahu ketidaksetaraan pikun dengan kekuatan.
Masalah dengan menunjukkan bola terbuka itu sehubungan dengan metrik ini dengan pusat di$0$dan setiap jari-jari positif adalah kompak ideal di$F_p[[X]]$. Bola kami dalam bentuk ($r>0$)$K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.
Menurut pendapat saya, kita harus menunjukkan bahwa
sebuah)$K_{0,r}$tidak kosong dan$\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,
b) jika$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$kemudian$\gamma \alpha \in K_{0,r}$,
b) jika$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$kemudian$ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.
Sayangnya saya tidak tahu bagaimana membuktikannya, apalagi menunjukkan bahwa ideal ini kompak.
Jawaban
Sebenarnya ini adalah ruang ultrametrik : jika$g,f,h\in F_p[[X]]$, kemudian$d$memenuhi pertidaksamaan segitiga kuat (atau ultrametrik ) :
$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$
Untuk berbeda$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$membiarkan
$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$
maka$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.
Membiarkan$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$,$g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, dan$h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. Jelas$(1)$berlaku jika$f=h$,$h=g$, atau$f=g$, jadi anggaplah$f,g$, dan$h$semua berbeda. Membiarkan$k=\delta(f,h)$dan$\ell=\delta(h,g)$, dan tanpa kehilangan keumuman, asumsikan bahwa$k\le\ell$. Kemudian$a_n=b_n=c_n$untuk setiap$n<k$, jadi$\delta(f,g)\ge k$, dan maka dari itu
$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$
seperti yang diinginkan.
Dalam jawaban ini saya membuktikan bahwa bola terbuka di ruang ultrametrik juga merupakan himpunan tertutup. (Notasi di sana diambil dari PDF yang ditautkan oleh OP dan agak aneh:$B(x,r^-)$hanyalah bola jari-jari terbuka$r$berpusat di$x$.) Dalam jawaban ini saya menunjukkan bahwa bola terbuka berpusat di titik asal di$\Bbb Q_p$kompak; dengan sedikit kerja Anda harus dapat menyesuaikannya dengan bola di$F_p[[X]]$.
Selebihnya, perhatikan bahwa bola terbuka berpusat di$0$semuanya memiliki bentuk sebagai berikut:
$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$
Menggunakan ini tidak sulit untuk menunjukkan itu$fg\in B_k$kapanpun$g\in B_k$: jika$g\in B_k$, memiliki faktor$X^k$, dan karenanya begitu juga$fg$. Memeriksa apakah itu ditutup di bawah tambahan juga mudah.