Bagaimana kami melampirkan file $2$-sel?

Question

Ini adalah masalah dari Topologi ALjabar Hatcher

"Hitung homologi ruang yang diperoleh $D^2$ dengan terlebih dahulu menghapus interior dari dua subdisk yang terputus-putus di bagian dalam $D^2$ dan kemudian mengidentifikasi ketiga lingkaran batas yang dihasilkan bersama-sama melalui homeomorfisme yang melestarikan orientasi searah jarum jam dari lingkaran ini. "

Saya menemukan solusi di sini https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Dari foto Anda dapat melihat bahwa solusinya menggunakan struktur CW dan mengatakan$2$-sel $U$ menempel pada kata tersebut $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Pertanyaan saya adalah: Mengapa demikian?

Tampaknya lebih rasional bagi saya untuk melampirkan $U$ untuk $abab^{-1}cac^{-1}$karena kami ingin semua 3 lingkaran menjadi searah jarum jam. Saya samar-samar dapat memahami prosedurnya: kita mulai dari$x$, lalu kita berkeliling $a$, sekarang kita lalui $b$ untuk mencapai lingkaran dalam dari lingkaran luar, lalu kita berkeliling $a$ sekali lagi, maka kami melakukan hal yang sama untuk $c$. Tapi mengapa kita pergi berlawanan arah jarum jam saat kita sampai di dalam?

Answer 1

Pikirkan diri Anda sedang duduk di dalam $U$dan pikirkan bagaimana batas itu membungkus. Anda mulai dari atas$x$ kemudian lakukan perjalanan searah jarum jam mengitari lingkaran luar ($a$), lalu berjalan di sepanjang segmen $b$ (sekarang kamu sudah selesai $ab$) lalu berjalan berlawanan arah jarum jam di sepanjang lingkaran dalam kiri ($aba^{-1}$), lalu kembali $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) dll.

Intinya adalah saat Anda berada di dalam $U$jalan di sepanjang lingkaran dalam berlawanan arah jarum jam; berlawanan arah dengan jalan di sekitar lingkaran luar. Ingatlah bahwa interior$U$ selalu berada di sisi yang sama saat seseorang berjalan di sepanjang batasnya.