Bagaimana kondisi sebuah grup $G$ menjadi sama dengan produk dari dua subkelompok normal

Question

Jika $G$ adalah grup dan $N,M$adalah dua subkelompok normal. Kami tahu produk itu$NM$ adalah subkelompok normal $G$, tetapi kapan saya bisa mengatakan itu $G=NM$. Apa yang harus menjadi ketentuannya$N,M$?

Answer 1

Dengan asumsi semua kelompok yang disebutkan dalam contoh ini terbatas.
Contoh: jika$|G:M|$ dan $|G:N|$adalah coprime , lalu$G=NM$. Bukti:$|G:NM| \mid |G:M|$ dan $|G:NM| \mid |G:N|$.
Contoh lain: jika$|M|$ dan $|N|$adalah coprime dan$|G|=|N| \cdot |M|$, kemudian $G=NM$.
Contoh lain lagi: jika$M$adalah subkelompok maksimal dan$N \not \subseteq M$, kemudian $G=NM$.

Jika Anda terbiasa dengan teori karakter (biasa) dari grup hingga : jika$\varphi$ adalah karakter dari $M$ dan pembatasan induksi $(\varphi^G)_N$ tidak bisa direduksi, kalau begitu $G=NM$.

Answer 2

Ada pertanyaan yang lebih umum, yang telah dipelajari secara intensif, yaitu kapan kita bisa mengatakannya $G=AB$ untuk subkelompok $A,B$? Kelompok seperti itu$G$disebut faktorizable dan ada banyak literatur tentang mereka.

Ada beberapa syarat yang sepele, misalnya itu $AB$ adalah subkelompok dari $G$ jika dan hanya jika $AB=BA$, Lihat

Membiarkan $A,B$ menjadi subkelompok dari grup $G$. Membuktikan$AB$ adalah subkelompok dari $G$ jika dan hanya jika $AB=BA$

Referensi pada grup yang dapat difaktorisasi: misalnya Arad , dan banyak makalah oleh Amberg, B. Franciosi, S. dan Degiovanni dan lainnya, juga makalah oleh Gorenstein, Herstein .

Untuk referensi lebih lanjut lihat juga postingan MO ini .