Bagaimana membuktikan bahwa penjumlahan dari 2 distribusi Gaussian juga merupakan distribusi Gaussian menggunakan fungsi karakteristik [duplikat]

Question

Misalkan X dan Y menjadi dua $ \mathcal{N}(0, 1) $distribusi. Saya harus membuktikan itu untuk$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ adalah sama dengan $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.

Saya mencoba melakukan ini menggunakan fungsi karakteristik dari distribusi Gaussian. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$

Saya tidak benar-benar tahu apa yang harus dilakukan karena dengan mengubah variabel saya tidak dapat mengganti x dan y. Ada sugestions?

Answer 1

Membiarkan $Z=aX+bY$. Fungsi karakteristik$Z$ aku s:

$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$

EDIT (Kesalahan ceroboh ...) Jika X dan Y independen:

$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,

dimana $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$adalah fungsi karakteristik dari distribusi normal. Begitu,

$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,

yang merupakan fungsi karakteristik dari distribusi normal $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.