bagaimana membuktikan bahwa segmen tersebut $IF=HF+GF$

Aug 16 2020

$AE$ dan $CD$ adalah bisectors sudut dari $\triangle ABC$. $F$ adalah titik arbitrer di baris $DE$. Buktikan itu$GF+HF=IF$.

saya perhatikan $3$segiempat siklik. Ada ide. Ini gambarnya

Jawaban

6 JeanMarie Aug 16 2020 at 15:00

Pertimbangkan Koordinat Trilinear (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) pertama dalam kasus di mana $F$ ada di dalam segitiga $ABC$.

$D$ dan $E$, Menjadi kaki dari bissectors sudut, memiliki resp. coord trilinear.$(1,1,0)$ dan $(0,1,1)$. Oleh karena itu, persamaan trilinear dari garis lurus$DE$ aku s:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Menafsirkan $(x=FG,y=FH,z=FI)$, kita mendapatkan:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( yang bukan hubungan yang diberikan! )

Sekarang, jika $F$ tidak ada di dalam segitiga $ABC$, berikut kasus lainnya:

  • Dalam kasus yang digambarkan pada gambar yang diberikan ($F$ "diluar" $[DE]$ Pada sisi dari $E$), hanya satu dari koordinat trilinear, $FG$, mengalami perubahan tanda; oleh karena itu (1) menjadi:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

yang berarti hubungan yang diberikan , kali ini!

Jika, dalam kasus gambar yang diberikan, $F$ Jauh, terjadi perubahan tanda kedua, sekarang untuk jarak tanda $FH$, mengubah (2) menjadi:

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

yang merupakan formula ketiga.

  • jika sebaliknya, $F$ berada di luar ruas garis $[D,E]$ tapi di sisi $D$, kita harus berubah $FI$ menjadi kebalikannya di (1), memberikan kembali hubungan (3).

Catatan tentang hubungan (0): kita mendapatkannya dengan mengerjakan konstanta perkalian; ini tidak penting karena kita berurusan dengan hubungan yang memiliki angka nol di sisi kanannya.