Bagaimana menemukan semua fungsi $f:\mathbb R\to\mathbb R$ seperti yang $\forall a,b\in\mathbb R$: $f(a)+f\big(a+f(b)\big)=b+f\big(f(a)+f^2(b)\big)$ [duplikat]
Temukan semua fungsi $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ seperti itu untuk semua $ a , b \in \mathbb R$: $$ f ( a ) + f \big( a + f ( b ) \big) = b + f \big( f ( a ) + f ^ 2 ( b ) \big) \text . $$
Di sini, untuk siapa saja $ n \in \mathbb N $, $ f ^ n $ menunjukkan $ n $-terasi dari $ f $.
Ide saya sejauh ini:
Saya mengganti $ ( 0 , x ) $ yang menghasilkan: $$ f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) = x + f \big( f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) \big) \text . \tag 1 \label 1 $$
Katakan itu $ a , b \in \mathbb R $, $ a \ne b $ dan $ f ( a ) = f ( b ) $. Kemudian nilai LHS tidak berubah dengan$ a , b $tapi RHS melakukannya. Itu adalah kontradiksi dan karenanya$ f ( a ) = f ( b ) \implies a = b $. Oleh karena itu fungsinya bersifat injektif.
Jika kita mengganti $ \big( x , f ( x ) \big) $ kita bisa menyilangkan fungsi seperti ini: $$ f \big( x + f ^ 2 ( x ) \big) = f \big( f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \big) \text ; $$ $$ \therefore \quad x + f ^ 2 ( x ) = f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \text . \tag 2 \label 2 $$
Jika kita berasumsi $ f ( 0 ) = 0 $, kita punya $ f ^ 2 ( x ) = x + f ^ 3 ( x ) $.
Menggunakan \ eqref {2} kita dapatkan$ f ( x ) = 2 x $. Namun, hal ini tidak memenuhi persamaan fungsional dan dengan demikian kita dapat menyimpulkannya$ f ( 0 ) \ne 0 $.
Saya juga memperhatikan bahwa jika Anda mengganti $ f ( x ) $ untuk $ x $, Anda mendapatkan $ f ( x ) + f ^ 3 ( x ) =f ^ 2 ( x ) + f ^ 4 ( x ) $ dan mengekspresikan $ f ^ 3 ( x ) $ dari \ eqref {2} kita mendapatkan hasil yang menarik: $ f ^ 4 ( x ) = x $ yang berarti fungsinya berulang dengan siklus $ 4 $ (atau $ 2 $ atau $ 1 $).
Saya tidak yakin bagaimana melanjutkan atau substitusi apa yang harus saya coba selanjutnya.
Jawaban
Anda dapat menunjukkan bahwa tidak ada fungsi $ f : \mathbb A \to \mathbb A $ memuaskan $$ f ( x ) + f \big( x + f ( y ) \big) = y + f \Big( f ( x ) + f \big( f ( y ) \big) \Big) \tag 0 \label 0 $$ untuk semua $ x , y \in \mathbb A $, dimana $ ( \mathbb A , + ) $adalah kelompok abelian mana pun dengan elemen netral $ 0 $dan fungsi invers $ - $, seperti itu $ b \in \mathbb A $ dengan $ 5 b \ne 0 $. Seperti yang Anda minati$ \mathbb A = \mathbb R $dengan operasi grup $ + $ dianggap sebagai penjumlahan bilangan real biasa, ini akan menjadi kasus, karena bilangan riil bukan nol dapat dipilih sebagai $ b $.
Untuk melihat ini, gantikan $ f ( x ) $ untuk $ x $, dan lihat itu $$ f \big( f ( x ) \big) - y = f \Big( f \big( f ( x ) \big) + f \big( f ( y ) \big) \Big) - f \big( f ( x ) + f ( y ) \big) \\ = f \Big( f \big( f ( y ) \big) + f \big( f ( x ) \big) \Big) - f \big( f ( y ) + f ( x ) \big) = f \big( f ( y ) \big) - x \text , $$ yang di acara tertentu $$ f \big( f ( x ) \big) = f \big( f ( 0 ) \big) - x \text . \tag 1 \label{1a} $$ Puting $ x = 0 $ di \ eqref {0} dan menggunakan \ eqref {1a} yang Anda miliki $$ f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y = y + f \Big( f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y \Big) \text , $$ yang dengan membiarkan $ a = f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) $ dan mengganti $ - x + a $ untuk $ y $ menunjukkan bahwa $$ f ( x ) = 2 x - a \text . \tag 2 \label{2a} $$ Menggunakan \ eqref {1a} dan \ eqref {2a} Anda mendapatkan $ 5 x = 0 $ untuk semua $ x \in \mathbb A $, dan khususnya untuk $ x = b $, yang merupakan kontradiksi.
Dalam kasus setiap $ b \in \mathbb A $sudah teratur $ 5 $, memilih salah satu $ a \in \mathbb A $ dan mengambil $ f $ menjadi bentuk \ eqref {2a}, persamaan \ eqref {0} akan terpenuhi untuk semua $ x , y \in \mathbb A $. Untuk melihatnya, gunakan \ eqref {2a} untuk menulis ulang \ eqref {0} sebagai$$ 2 x - a + 2 ( x + 2 y - a ) - a = y + 2 \big( 2 x - a + 2 ( 2 y - a ) - a \big) - a \text , $$ atau setara $$ 4 x + 4 y - 4 a = 4 x + 9 y - 9 a \text , $$ yang benar sejak itu $ 5 y = 0 $ dan $ 5 a = 0 $. Karena penurunan yang menghasilkan \ eqref {2a} valid untuk semua grup abelian (terlepas dari urutan elemennya), kami telah menandai semua solusi dalam kasus ini. Contoh grup abelian yang urutan tiap elemennya$ 5 $adalah kelompok sepele , kelompok siklik $ \mathbb Z _ 5 $dan produk langsung dari$ \mathbb Z _ 5 $ dengan dirinya sendiri.