Bagaimana Menggabungkan Beberapa Kesetiaan Gerbang

Question

Kesetiaan qubit didefinisikan dengan baik di sini dan kesetiaan gerbang sebagai "kesetiaan rata-rata keadaan keluaran di atas keadaan masukan murni" ( didefinisikan di sini ).

Bagaimana seseorang bisa menggabungkan kesetiaan dua (atau lebih) gerbang untuk mendapatkan kesetiaan gerbang total gabungan? Seperti halnya, jika qubit dioperasikan oleh dua (atau lebih) gerbang, bagaimana kita bisa menghitung kesetiaan qubit yang diharapkan (dibandingkan dengan keadaan aslinya) setelah dioperasikan oleh gerbang itu jika yang kita tahu hanyalah kesetiaan gerbang setiap gerbang?

Saya membayangkan itu dapat disimpulkan dari definisi kesetiaan qubit ... Saya belum bisa memahaminya. Saya juga melakukan banyak pencarian online dan tidak dapat menemukan apa pun. Saya lebih suka definisi di halaman wikipedia:$F(\rho, \sigma)=\left|\left\langle\psi_{\rho} \mid \psi_{\sigma}\right\rangle\right|^{2}$untuk membandingkan status masukan ke status keluaran. Mudah dikerjakan. Solusi yang dijelaskan dalam istilah-istilah ini lebih disukai.

Answer 1

Saya tidak tahu apakah Anda dapat dengan tepat menghitung kesetiaan gerbang total gabungan karena proses kebisingan yang mengurangi kesetiaan setiap gerbang secara individual mungkin dibuat dengan cara nontrivial. Namun jika Anda mengetahui kesetiaan gerbang individu dan kesetiaan tersebut memenuhi properti tertentu, maka Anda dapat mengikat kesetiaan gerbang total. Ini adalah "properti rantai untuk kesetiaan" (mis. Nielsen dan Chuang Bagian 9.3).

Misalkan Anda berniat untuk melamar $U_1$ untuk $\rho$ sebagai gerbang pertama secara berurutan, tetapi operasi aktual yang Anda terapkan adalah peta CPTP $\mathcal{E}_1(\rho)$ yang merupakan versi berisik dari $U_1$. Cara alami untuk mengukur kesalahan dalam operasi yang Anda terapkan adalah:

$$ E(U_1, \mathcal{E}_1) = \max_\rho D(U_1 \rho U_1^\dagger, \mathcal{E}_1(\rho)) $$

dimana $D(\rho, \sigma) = \arccos \sqrt{F(\rho, \sigma)}$ adalah pilihan yang memungkinkan untuk $D$, tetapi Anda dapat menggunakan metrik apa pun di atas status kuantum. Menemukan jarak maksimum antara$U_1 \rho U_1^\dagger$ dan $\mathcal{E}_1(\rho)$ lebih dari matriks kepadatan $\rho$memberi tahu Anda kemungkinan hasil terburuk yang bisa Anda peroleh dari penerapan gerbang yang berisik. Kemudian, jika Anda mendefinisikan kesalahan dengan cara yang sama$U_2$ dan implementasinya yang berisik $\mathcal{E}_2$ maka Anda bisa menjaminnya

$$ E(U_2 U_1, \mathcal{E}_2 \circ \mathcal{E}_1) \leq E(U_1,\mathcal{E}_1) + E(U_2, \mathcal{E}_2 ) $$

yang mengatakan bahwa kesalahan kasus terburuk untuk menerapkan kedua gerbang Anda tidak lebih buruk daripada jumlah kesalahan kasus terburuk untuk menerapkan gerbang satu per satu.

Sayangnya kesetiaan $F(\rho, \sigma) =\text{Tr}( \rho \sigma)$ yang Anda berikan bukanlah metrik yang tepat untuk status, sehingga Anda tidak dapat menggantinya ke dalam properti rangkaian di atas.