Bagaimana menghitung panjang busur dari lingkaran besar yang miring dengan ekuator di $\phi°$ pecah menjadi $12$ busur dengan bujur $30°$ selain?

Question

Sebuah lingkaran besar terletak di $\phi°$kemiringan ke ekuator. Bujur$30°$ terpisah ditarik yang membagi ekuator masuk $12$ busur yang sama ukurannya (radius bumi$*30$). Busur yang sesuai pada lingkaran besar miring akan memiliki panjang yang bervariasi. Bagaimana menghitung sudut subtended mereka untuk semua$12$ busur?

---

Apa yang berhasil saya temukan:

1. Berikut diagramnya: Deskripsi masalah

2. $\phi =$ garis lintang dari titik terendah & tertinggi dari lingkaran besar (mengabaikan tanda-tanda mis $+/-$).

3. Panjang busur untuk kedua lingkaran $90°$ sudut subtended sama dengan seperempat keliling.

4. Mencoba menyelesaikan dengan aturan Haversine & aturan sinus untuk trigonometri bola , tetapi ketika diprogram, jumlah$12$ busur tidak sama dengan keliling bumi.

---

Motivasi:

Sudut subtended dari busur akan bervariasi dengan lintang & bujur. Perhitungan itu sangat penting untuk perangkat lunak astrologi yang saya coba buat. Terima kasih sebelumnya atas bantuannya!

Answer 1

Mungkin lebih baik untuk menghitung panjang busur kumulatif.

Membiarkan $A$ menjadi titik di mana busur menyentuh Khatulistiwa dan $B$ menjadi titik mana pun Anda pindah $A$. Karena$A$ dapat menjadi salah satu dari dua poin, kita dapat berasumsi tanpa kehilangan keumuman dari $B$ digantikan oleh $\le 180°$ bujur dari$A$. Sebut dengan demikian perpindahan bujur$\theta$.

Seri $\triangle ABP$ dimana $P$adalah salah satu kutub. Kemudian$\angle P$ Pengukuran $\theta$, busur $AP$ mengukur 90 °, dan $\angle A$ Pengukuran $90°-\phi$.

Dalam memecahkan segitiga, saya biasanya lebih suka bekerja dengan cosinus daripada sinus. Fungsi kosinus bersifat monotonik dan memberikan inversi yang tidak ambigu$0°$ untuk $180°$, sedangkan fungsi sinus berfungsi ganda kembali dengan sendirinya saat argumen berlalu $90°$. Jadi lihatlah hukum kosinus. Jika Anda memiliki dua sudut dan sisi yang disertakan seperti di sini, Hukum Kedua Cosinus bekerja paling baik. Untuk segitiga ini hukum memberikan yang berikut untuk sudut ketiga$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

Di sini, suku kedua di kanan nol sebagai $AP$ Pengukuran $90°$. Memasukkan sudut yang diketahui di atas lalu merender

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

Kami kemudian menerapkan hukum yang sama sekali lagi, kali ini dengan $\angle P$ di sisi kiri:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

Memasukkan nilai-nilai yang diketahui dan menggunakan fakta itu $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ untuk $0\le u\le 180°$, kita mendapatkan

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

dan rumus ini untuk panjang busur $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$