Bagaimana satelit mempertahankan orbit melingkar?
Mengingat satelit berawak ditempatkan pada jarak tertentu $r$ dari pusat bumi, dengan kecepatan awal tegak lurus dengan vektor posisinya, besarnya kecepatan awal yang akan memungkinkannya untuk mempertahankan radius orbit melingkar $r$ aku s: $$ v_0 = \sqrt{\frac{G M}{r}} $$ Dimana $G$ adalah konstanta gravitasi dan $M$ adalah massa bumi.
Pertanyaan saya adalah: jika astronot di dalam satelit mengerahkan semacam gaya padanya, bukankah itu akan menyebabkan perubahan kecil pada arah vektor kecepatannya, sehingga membuat satelit mematahkan orbit melingkar?
Jawaban
Ada sesuatu yang saya tidak suka tentang jawabannya, dan itu berkaitan dengan fakta bahwa Anda memiliki intuisi yang sangat baik di sini dan jawaban lain memberikan beberapa pengecualian khusus untuk intuisi itu tetapi tidak benar-benar mengarahkan Anda bagaimana menggunakannya.
Jadi jawaban saya adalah seperti, "Ini adalah satelit sungguhan, awalnya tidak berada dalam orbit melingkar yang sempurna." Jadi, kami adalah fisikawan dan kami tahu bahwa kami sedang menciptakan model alam semesta yang tepat secara matematis ini: tetapi bagian dari permainan menjadi fisikawan adalah memahami bahwa model-model itu umumnya hanya mendekati benar. Saya bisa berdalih dengan ini dan berkata "oh, hukum konservasi, itu lebih dari perkiraan benar" tapi saya harap Anda bisa mengerti maksud saya. Dunia memiliki kebisingan dan kami tahu tentang itu. Satelit yang sebenarnya kadang-kadang merasakan gangguan dari angin matahari, dari gaya gravitasi Matahari dan Bulan, dari kepingan debu ruang angkasa dan tekanan radiasi, segala macam hal seperti itu.
Dan bahkan dengan semua itu, jika kira - kira melingkar maka persamaan ini kira - kira mewakili gerakannya, dan ini adalah alat yang berguna dalam perangkat saya.
Apa yang terjadi adalah Anda memiliki intuisi yang Anda bangun yang disebut analisis stabilitas . Jadi jika saya memiliki pena standar normal di meja saya, ada beberapa konfigurasi stasioner yang dapat ditempati. Itu bisa diletakkan di meja saya saat istirahat dengan berbagai cara. Tetapi ada satu konfigurasi stasioner di mana, meskipun dalam keadaan keseimbangan gaya yang tepat dan semua itu, Anda hampir tidak pernah melihat: di mana pena seimbang sempurna di ujungnya. Apa yang membuat konfigurasi tersebut berbeda?
Ini adalah bahwa semua konfigurasi "dekat" dengan yang satu itu, tidak stabil. Dunia ini berisik. Semua konfigurasi ini di mana pena diletakkan miring di atas meja, semuanya berada di dekat konfigurasi stabil lainnya sehingga kebisingan tidak mengganggu kita dari rangkaian besar situasi stabil kita. Di mana pena seimbang di ujungnya, kebisingan akhirnya akan mengganggu dan itu akan menjadi lebih buruk dan lebih buruk dari sana.
Bagaimana kita mengukur "dekat"? Kita memikirkan tentang sesuatu yang disebut "ruang fase", yang menggabungkan gagasan tentang berada di dekat posisinya tetapi juga berdekatan dalam momentum , dan ini memungkinkan kita memikirkan dua hal yang mungkin mengganggu kebisingan. Dan kemudian itu adalah orbit yang stabil jika titik-titik terdekat dari ruang fase juga mengarah ke orbit yang stabil.
Ruang tidak jauh, ruang cepat
Untuk berada di orbit, segala sesuatu harus bergerak cepat — begitu cepat sehingga jarak Anda jatuh dengan "jatuh" secara gravitasi sama dengan jarak permukaan bumi dari bawah Anda karena kelengkungannya. Jadi jika Anda membayangkan parabola terjun bebas normal dimulai dari kecepatan gerakan menyamping$v$ di atas radius $R$, Anda akan mengatakan dalam mekanika Newton bahwa ini menggambarkan titik $(x, y)$ dari waktu ke waktu dimana $$y(t) = R-\frac12 g t^2,\\x(t) = v~t,$$ dan $g = GM/R^2$ tentu saja, dan ini hanya akan mendekati benar untuk penyimpangan kecil di $y \ll R$. Kemudian Anda bisa memecahkan$t = x/v$ dan gambarkan ini sebagai parabola $y(x) = R - g x^2/(2 v^2).$Di sini kita membayangkan bahwa kecepatannya cukup kecil sehingga tanah tidak pernah “melengkung”, kita dapat memperlakukan Bumi sebagai datar. Tapi Bumi tidak datar, dan kita mungkin berpikir tentang lingkaran dengan jari-jari R,$y(x) = \sqrt{R^2 - x^2} = R\sqrt{1 - (x/R)^2}.$ Sedikit kalkulus nanti, Anda bisa menemukannya secara kecil $x$, kita punya $y \approx R - x^2/(2 R),$ dan ini kira-kira baris yang sama ketika $g/v^2 =1/R.$Ini adalah kecepatan tepat di mana parabola itu "jatuh" sama seperti permukaannya yang melengkung di bawahnya. Dan memang jika Anda menggantinya$g = GM/R^2$ Anda akan menemukan rumus Anda, $v = \sqrt{GM/R}.$
Tapi saya ingin memberikan beberapa angka untuk ini. Kecepatan ini sekitar 18.000 mil per jam atau 29.000 kilometer per jam. Ini adalah kecepatan yang sangat cepat.
Bagaimana ini semua menjawab pertanyaan Anda
Fakta bahwa ruang angkasa itu cepat memiliki konsekuensi yang sangat penting untuk diskusi ini: ketika Anda mengubah posisi beberapa lusin meter atau mengubah kecepatan beberapa mil per jam atau lebih, Anda biasanya tidak akan menabrakkan satelit ke Bumi. . Menabrak bumi membutuhkan kecepatan ribuan mil per jam dari orbit satelit itu. Orbit di dekatnya bukanlah orbit melingkar tetapi orbit elips dalam bentuk sempurna-$1/r^2$model hukum-gaya, sehingga mereka mungkin mendekati lebih dekat atau lebih jauh dari Bumi di satu atau sisi lain; ini masing-masing disebut "perigee" dan "apogee" satelit. Mereka tidak mempertahankan kecepatan konstan melainkan momentum sudut konstan$L = m v r,$ sehingga mereka semakin jauh dari Bumi (lebih tinggi $r$) mereka bergerak lebih lambat dan saat mendekat, mereka bergerak lebih cepat. Tapi ya: pada akhirnya jika mereka cukup gelisah, pada perigee mereka mereka lari ke atmosfer bumi yang memperlambat mereka, dan ini menyebabkan perigee mereka pada orbit berikutnya menjadi sedikit lebih rendah yang berarti bahwa ia menghantam lebih banyak atmosfer dan bergerak lebih lambat, dan seterusnya. terus menyala, sampai akhirnya menguap dari pemanasan udara (atau menabrak bumi jika dibuat sedemikian rupa sehingga tidak menguap.)
Dalam praktiknya, gaya hambat ini juga dapat memotivasi satelit kita untuk memiliki roket berumur panjang di atasnya dan terlibat dalam pemeliharaan stasiun , yang merupakan koordinasi aktif pendorong roket yang dirancang untuk memperbaiki perbedaan antara "di mana saya berada" dan "tempat yang saya inginkan" menjadi." Ini juga dapat digunakan pada orbit yang tidak stabil, dalam hal ini sama seperti jika saya "membantu" pena saya duduk di titiknya dengan mengamatinya dengan sangat dekat dan kapan pun mulai jatuh ke satu sisi saya mendeteksinya dengan sangat cepat dan memberikannya "Pukul" dengan sangat tepat dengan tangan saya untuk menjatuhkannya kembali ke titik stabilitas.
Sebagai contoh bagus dari yang terakhir, ternyata sistem Bumi-Matahari memiliki beberapa titik Lagrange di mana gaya Matahari dan Bumi serta aspek sentrifugal yang mengorbit Matahari dengan Bumi semuanya seimbang. Yang di sepanjang sumbu Bumi-Matahari adalah yang "jelas" (tentu saja, jika Bumi menarik Anda ke satu arah dan Matahari menarik Anda ke arah lain, di beberapa titik di antara keduanya mereka akan menyeimbangkan dan keduanya menarik Anda secara seimbang di salah satu sisi. arah), tetapi ternyata jika Anda melakukan analisis stabilitas, Anda menemukan bahwa ini tidak stabil. (Yang ada di sisi jauh Bumi atau di sisi jauh Matahari mungkin kurang jelas, saya akan mengabulkan, tetapi tidak terlalu banyak persamaan untuk disimpulkan untuk melihat bahwa itu pasti ada juga.)
Tapi, ada juga dua titik, "di depan kita" dan "di belakang kita" masing-masing sebesar 60 derajat di orbit, yang stabil. Jika Anda meletakkan satelit di sana, itu akan tetap di sana.
Pikirkan mengapa Anda mungkin tidak ingin menempatkan satelit pada posisi seperti itu: Ada banyak debu luar angkasa di tempat-tempat itu! Mereka "menyedot" puing-puing karena mereka stabil. Jadi, Anda mungkin lebih suka melakukan pemeliharaan stasiun aktif untuk menjaga satelit di salah satu posisi tidak stabil ini: setidaknya Anda tidak akan mengalami debu ruang angkasa! Ini juga menjadi masalah bagi lingkungan luar angkasa kita saat ini: Saat kita meledakkan benda-benda ke orbit, wilayah ruang fase ini berisi benda-benda yang bergerak cepat dalam orbit elips yang tidak menabrak atmosfer secara progresif mengandung semakin banyak sampah, karena proses yang keluar dari wilayah ruang fase ini sangat lambat. Jadi kita harus melacak semua potongan kecil sampah luar angkasa ini dan mencoba memastikannya tidak mengenai satelit kita — tidak menyenangkan!
Ya, Anda sepenuhnya benar! Astronot dapat memberikan gaya pada satelit dan membuatnya memutus orbit lingkaran sebelumnya! Anggap saja skenario berikut: astronot keluar dari satelit dan kemudian mendorongnya dengan tangan. Konsekuensi dari ini akan menjadi baik astronot dan satelit melanggar orbit lingkaran mereka.
Dan konsekuensi menakjubkan lainnya adalah, meskipun kedua objek tersebut melanggar orbit lingkarannya, pusat massa bersama mereka (pusat massa sistem: astronot plus satelit) akan tetap mempertahankan orbit lingkaran sempurna yang sama! Ini karena salah satu teorema dasar Mekanika Klasik:
Gerak pusat massa suatu sistem tidak dapat dipengaruhi oleh gaya internal sistem itu sendiri, hanya oleh gaya eksternal.
Tetapi tentu saja astronot tidak dapat memberikan kekuatan eksternal karena mereka adalah bagian dari sistem.
Inilah sebabnya mengapa astronot di stasiun luar angkasa tidak perlu khawatir menggeser orbitnya mengelilingi bumi, orbit pusat massa aman, dalam arti tidak dapat diubah oleh tindakan mereka, dan hingga mereka tetap dekat. stasiun luar angkasa pasti tidak akan ada masalah. Tetapi misalkan salah satu dari mereka mendorong diri mereka sendiri menjauh dari stasiun luar angkasa dengan seluruh kekuatan mereka, maka pada prinsipnya mereka dapat mengubah orbit stasiun luar angkasa, tetapi pada kenyataannya ini bukan masalah karena stasiun luar angkasa jauh lebih masif daripada manusia, dan dengan demikian tindakan mendorong diri mereka sendiri hampir tidak akan membuat perbedaan bagi sistem secara keseluruhan, karena massa mereka memberikan kontribusi yang sangat kecil terhadap posisi pusat massa.
Sampai ada gaya eksternal pada sistem satelit-astronot, tidak akan ada perubahan kecepatan atau orbitnya. Gaya lain yang timbul di dalam sistem akan menjadi gaya internal dan tidak akan mempengaruhi kecepatan sistem. jika astronot menerapkan gaya ke satelit, satelit akan menerapkan gaya yang sama ke astronot dengan gaya nol bersih pada sistem.
Mari kita lihat persamaannya:
$$v_o =\sqrt \frac{GM}{R}$$
Hal utama yang perlu diperhatikan di sini adalah apa yang Anda tulis dengan persamaan di atas diturunkan untuk pusat massa satelit itu - sistem astronot karena konsep pusat massa inilah yang membuat kita mampu menerapkan hukum Newton untuk menurunkan persamaan ini.
Hukum Newton hanya berlaku untuk massa titik dan itulah mengapa Anda perlu menentukan pusat massa benda yang lebih besar untuk menggunakan hukum Newton padanya.
Kembali ke pertanyaan Anda:
- Mempertimbangkan satelit sebagai sistem Anda
Dalam hal ini, intuisi Anda sepenuhnya benar. Dorongan astronot akan dianggap sebagai gaya eksternal karena bukan merupakan bagian dari sistem dan karenanya pusat massa satelit pasti akan menyimpang dari jalur.
- Untuk astronot dan satelit sebagai satu sistem
Maka kecepatan pusat massa tidak menyimpang. Astronot mendorong satelit dan satelit mendorong astronot sehingga tidak ada gaya eksternal pada sistem ini dan karenanya pusat massa sistem ini tidak mengalami perubahan apa pun .
Semoga membantu 🙂.
Noumeno punya jawaban yang benar , tapi saya ingin menambahkannya. Dalam jawaban tersebut, mereka menunjukkan bahwa gaya internal tidak dapat mempengaruhi posisi pusat massa sistem. Namun, mungkin tidak jelas mengapa mereka adalah "kekuatan internal". Nyatanya, mereka tidak harus seperti itu!
Perbedaan antara gaya internal dan gaya eksternal adalah pilihan yang dibuat saat merumuskan masalah. Jika kita memilih untuk memperlakukan "satelit dan astronot" sebagai sistem kita, kita dapat mengatakan bahwa astronot yang mendorong satelit adalah kekuatan internal, sehingga tidak dapat mempengaruhi lintasan pusat massa dari keseluruhan sistem.
Namun, kita juga dapat memilih untuk mengatakan kita memiliki dua entitas independen, satelit dan astronot, dan kebetulan posisi astronot berada di dalam satelit. Sekarang kita tidak dapat lagi mengklaim bahwa interaksi adalah kekuatan internal. Mengapa? Karena kami telah memilih untuk menyiapkan masalah sehingga ini sekarang adalah dua objek terpisah yang berinteraksi, secara eksternal. Kita akan menemukan bahwa hasilnya persis sama seperti jika kita menganggapnya sebagai satu sistem, tetapi matematika yang kita gunakan untuk mendapatkannya sedikit berbeda.
Ketika astronot mendorong dari sisi satelit, itu memang memutus orbit melingkar. Itu merusaknya untuk kedua belah pihak. Kedua belah pihak didorong ke orbit elips. Orbit mereka berakhir tergantung pada arah mana astronot mendorong (6 arah utama diberi label prograde / retrograde, radial / anti-radial, normal / anti-normal berdasarkan arah yang dilalui satelit), tetapi mereka akan keduanya berbentuk elips.
Nah, jika itu adalah interaksi terakhir, itulah akhirnya. Namun, seharusnya cukup jelas bahwa, jika itu adalah interaksi terakhir, itu berarti astronot telah melompat keluar dari satelit dan sekarang menjauh darinya! Dan, jika Anda benar-benar memplot semua potensi orbit yang bisa mereka tempati, Anda akan menemukan bahwa semuanya menunjukkan bahwa pusat massa "satelit plus astronot" mengikuti jalur aslinya. (konsisten dengan penjelasan "kekuatan internal"). Hanya perlu lebih banyak matematika untuk membuktikan ini benar.
Namun, di dalam satelit, semua hal baik harus berakhir. Nantinya astronot akan dengan gembira menabrak sisi lain satelit. Ini akan mengganggu kedua orbit elips mereka. Sekali lagi, dengan sekumpulan matematika, Anda menemukan bahwa jika astronot berhenti di dalam satelit, gangguan tersebut persis seperti yang dibutuhkan untuk menempatkan keduanya kembali pada orbit melingkar.
Jadi apakah Anda menganggapnya sebagai kekuatan internal atau eksternal, hasilnya sama. Memikirkannya sebagai kekuatan internal, seperti yang dilakukan Noumeno, membuat Anda mendapatkan jawabannya dengan sangat cepat. Mungkin itu cara terbaik untuk memikirkannya. Namun, jika Anda merasa tidak nyaman dengan pendekatan itu (rasanya sedikit bergelombang), Anda selalu dapat memperlakukan satelit dan astronot sebagai dua objek terpisah, dan melakukan semua perhitungan untuk menjelajahi orbit elips yang dapat terjadi. Anda tentu saja akan mendapatkan jawaban yang persis sama. Salah satu pendekatan yang elegan, satu adalah kekerasan dengan banyak matematika ekstra. Namun, karena fisika konsisten, kedua pendekatan tersebut menghasilkan hasil yang sama.
Seperti yang disebutkan orang lain, persamaan yang Anda referensikan adalah untuk pusat massa sistem, bukan representasi benda yang diperluas. Juga massa satelit untuk sistem berawak biasanya akan jauh lebih besar daripada massa orang yang mengawasinya, sehingga mereka hanya dapat membuat gangguan kecil pada sistem dalam hal apapun.
Hal lain yang belum disebutkan adalah bahwa rumus tersebut juga hanya berlaku untuk Bumi bulat yang diisolasi dari benda-benda astronomi lainnya. Dalam praktiknya, hal itu tidak nyata dan gangguan dari faktor-faktor lain ini akan lebih besar daripada efek orang-orang yang bergerak. Bumi tidak bulat dan untuk penentuan orbit yang tepat Anda perlu memperhitungkan tarikan gravitasi benda lain seperti Matahari dan Jupiter. Pada orbit rendah, ada efek dari atmosfer atas. Pada orbit tinggi, terdapat efek dari hal-hal seperti tekanan radiasi matahari. Jadi, dalam praktiknya, orbit bola sempurna Anda pasti akan hancur, bahkan jika semua orang di dalamnya tetap diam.
Jika astronot berada di dalam satelit, maka gaya apa pun yang mereka berikan pada satelit akan memiliki gaya reaksi yang mempercepat astronot. Akhirnya, astronot akan menabrak sisi lain satelit, dan menggunakan kekuatan lawan. Jadi tidak ada bagian dalam satelit yang dapat menyebabkan lebih dari efek transien pada orbit.
Jika astronot melompat keluar dari satelit, mereka tidak akan menjadi bagian yang signifikan dari satelit, jadi efeknya pada orbit akan kecil. Selain itu, masih belum akan ada efek permanen; baik satelit maupun astronot sekarang berada di orbit, dan jelas orbitnya berpotongan (astronot sebelumnya berada di dalam satelit), sehingga mereka akan bertabrakan lebih jauh di orbitnya. Pada saat itu, astronot akan kembali menggunakan gaya yang membatalkan gaya yang awalnya mereka berikan.
Ungkapan "memutus" orbit melingkar menunjukkan bahwa Anda menganggap orbit sebagai semacam lintasan yang harus ditempati satelit, dan mungkin Anda bahkan berpikir bahwa orbit harus melingkar. Tidak ada orbit yang benar - benar melingkar. Jika orbit satelit terganggu, ia hanya masuk ke orbit yang sedikit berbeda, mungkin lebih atau kurang melingkar dari aslinya. Ada banyak satelit dengan orbit yang jauh dari lingkaran. Jika satelit menyimpang secara signifikan dari orbit yang diinginkan, apakah itu melingkar atau tidak, mereka memiliki pendorong untuk mengimbanginya.