Bagaimana $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ ikuti dari teorema konvergensi monoton?

Question

Dalam analisis Rudin's Real and Complex, dia mengatakan bahwa persamaan

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

untuk $a_{i,j} \ge 0$ berikut dari akibat wajar dari teorema konvergensi monoton (melalui ukuran penghitungan pada himpunan yang dapat dihitung):

Jika $f_n: X \to [0, \infty]$ dapat diukur dan $f = \sum f_n$, kemudian

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

Namun, saya kesulitan melihat ini. Saya menduga Anda menggunakan fungsi indikator untuk setiap titik dalam set yang dapat dihitung, tetapi saya tidak melihat manipulasi yang jelas untuk membuatnya benar. Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Membiarkan $X=\mathbb N$ dan $S$ jadilah set kekuatan $X$. Membiarkan$\mu$ menjadi ukuran penghitungan $X$. [$\mu(E)$ adalah jumlah poin $E$ yang dianggap $+\infty$ jika $E$ adalah himpunan tak terbatas].

Untuk fungsi apa pun $g: X \to [0,\infty)$ kita punya $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.

Sekarang ambil $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. Kemudian$f_n$ meningkatkan fungsinya $f$ didefinisikan oleh $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. Karenanya$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. Ini memberi$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.