Bagaimana teori gangguan independen waktu merosot bekerja? [duplikat]
Mari kita pertimbangkan pengaturan biasa untuk teori gangguan independen waktu:
$$H=H_0+\varepsilon H'$$
dan kami kemudian dapat menyiapkan perluasan biasa:
$$(H_0+\varepsilon H')[|n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]=(E_n^{(0)}+\varepsilon E_n^{(1)}+\varepsilon ^2 E_n^{(2)}+...)[n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]$$
Singkat cerita: ketika kita harus menyelesaikan masalah menggunakan teori perturbation, satu-satunya hal yang kita minati adalah bagaimana menghitung koreksi ke eigenstates dan eigenvalues.
Jika kita berada dalam kasus teori gangguan non- degenerasi independen waktu maka tugas ini sangat mudah setelah Anda mengetahui rumus untuk koreksi:
$$E^{(k)}_n=\langle n_0|H'|n_{k-1}\rangle$$ $$|n_k\rangle=\frac{1}{H_0+E^{(0)}_n}|_{|n_0\rangle}[(E_n^{(1)}-H')|n_{k-1}\rangle+E_n^{(2)}|n_{k-2}\rangle+.....+E_n^{(k)}|n_0\rangle]$$
Selesai! Hebat! Tapi tentu saja bagaimana jika Hamiltonian kita merosot? Di buku teks saya telah menemukan alasan mengapa rumus lama tidak berfungsi. Saya juga memahami bahwa dalam beberapa kasus gangguan membatalkan kemerosotan dan dalam beberapa kasus lain tidak. Dan ada juga pembicaraan tentang perlunya mendiagonalisasi matriks di ruang yang merosot (poin terakhir ini tidak jelas bagi saya saat ini). Baik. Tetapi dalam praktiknya: Bagaimana saya bisa mengatur dan menyelesaikan perluasan yang mengganggu dalam kasus yang merosot? Apa rumus koreksinya? (Mengetahui mengapa rumus berfungsi juga akan menyenangkan tetapi itu bukan poin utama dari pertanyaan ini)
Itu adalah pertanyaan-pertanyaan sederhana tetapi saya tidak dapat menemukan jawaban langsung dalam buku atau catatan kuliah saya. Saya ingin jawaban yang bagus dan ringkas. Topik ini tampaknya sangat rumit bagi saya sebagai pemula dan saya ingin ringkasan tentang apa yang terjadi di sini. Terutama dari sudut pandang praktis, tentang bagaimana kita bisa menyelesaikan latihan dan ekspansi dalam kasus yang merosot.
Jawaban
Ide utama di balik teori gangguan untuk keadaan yang merosot adalah untuk menemukan tidak hanya koreksi tetapi juga keadaan yang dikoreksi. Hanya negara bagian tertentu yang akan mendapatkan koreksi kecil, yang lain akan dikoreksi$O(1)$istilah. Mari pertimbangkan sebagai contoh sederhana. Pertimbangkan sistem dua tingkat yang diberikan oleh Hamiltonian \ begin {persamaan} H = \ left (\ begin {array} {ccc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {array} \ right), \ end { persamaan} dengan$\varepsilon \ll m$. Sistem dapat diselesaikan dengan tepat dengan memberikan \ begin {persamaan} E_ \ pm = m \ pm \ varepsilon ~~ \ text {dan} ~~ | \ psi_ \ pm \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right). \ end {persamaan} Sekarang bayangkan kita mencoba mendapatkan hasil ini menggunakan teori perturbasi. Hamiltonian yang tidak terganggu adalah \ begin {persamaan} H = \ left (\ begin {array} {ccc} m & 0 \\ 0 & m \ end {array} \ right), \ end {persamaan} telah merosot status eigen \ begin { persamaan} | \ psi ^ {(0)} \ rangle = c_1 \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array} \ right) + c_2 \ left (\ begin {array} {c} 0 \ \ 1 \ end {array} \ right), \ end {persamaan} semua dengan energi$E^{(0)}=m$. Jelas bahwa hanya jika Anda memilih status tidak terganggu menjadi \ begin {persamaan} | \ psi ^ {(0)} _ {1,2} \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right) \ end {persamaan} koreksi karena gangguannya kecil (dalam hal ini ia lenyap). Bagaimana kita bisa mendapatkan hasil itu tanpa menyelesaikan sistem dengan tepat? Untuk itu Anda memilih dasar sewenang-wenang agar sistem tidak terganggu$| \varphi_i \rangle$dan menyatakan eigenstates "benar" tidak terganggu (dan terganggu) sebagai kombinasi linier dari mereka: \ begin {persamaan} | \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle = c ^ {(0)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle, ~~ \ text {dan} ~~ | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle = c ^ {(1)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle. \ end {persamaan} Kemudian mengalikan persamaan Schrödinger \ begin {persamaan} (H_0 + \ varepsilon V) \ kiri (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle \ right) = (E ^ {(0)} + \ varepsilon E ^ {(1)} _ i) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1 )} _ i \ rangle \ right) \ end {persamaan} dengan$\langle \phi_k |$seseorang mendapat \ begin {persamaan} \ sum_ {j} \ langle \ varphi_k | V | \ varphi_j \ rangle c_ {ij} ^ {(0)} = E_i ^ {(1)} c_ {ik} ^ {(0)}. \ end {persamaan} Menghilangkan indeks$i$kita melihat bahwa persamaan ini tidak lain adalah persamaan untuk eigenstates \ begin {persamaan} \ sum_j V_ {kj} c_j = E ^ {(1)} c_k, \ end {persamaan} yang menyiratkan bahwa$\det (V-E^{(1)})=0$. Dari persamaan ini$E_i^{(1)}$ dan $c_{ij}^{(0)}$ diturunkan secara bersamaan.
Kembali ke contoh kita, kita bisa memilih \ begin {persamaan} | \ varphi_1 \ rangle = \ left (\ begin {larik} {ccc} 1 \\ 0 \ end {larik} \ kanan), ~~ \ text {dan} ~~ | \ varphi_2 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 \\ 1 \ end {array} \ right). \ end {persamaan} Persamaan Schrödinger menjadi \ begin {persamaan} \ kiri (\ begin {array} {cc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {array} \ kanan) \ kiri (\ begin {array } {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1 )} \ end {larik} \ kanan) = \ kiri (m + \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ kanan) \ kiri (\ begin {larik} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1)} \ end {larik} \ kanan), \ end {persamaan} atau setelah penyederhanaan \ begin {persamaan} \ varepsilon \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i2} ^ {(0)} \\ c_ {i1} ^ {(0)} \ end {array} \ right ) = \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ kiri (\ begin {larik} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} \ end {larik} \ kanan), \ end {persamaan} yang solusinya adalah \ begin {persamaan} E ^ {(1)} = \ pm 1, ~~ \ text {for} ~~ \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \ \ \ pm 1 \ end {array} \ right), \ end {persamaan} yang persis seperti yang kita miliki sebelumnya.
Yang Anda minati disebut persamaan sekuler .
Sumber klasik adalah jilid kedua Landau & Lifshitz https://books.google.ru/books?id=neBbAwAAQBAJ&pg=PA110&hl=ru&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false
Membiarkan $\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$ menjadi fungsi eigen, milik nilai eigen yang sama $E_n^{(0)}$. Oleh$\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$kami menganggap fungsi tidak terganggu, dipilih dengan cara yang sewenang-wenang. Fungsi eigen yang benar dalam urutan ke-nol adalah kombinasi bentuk linier:$$ c_{n}^{(0)} \psi_{n}^{(0)} + c_{n^{'}}^{(0)} \psi_{n^{'}}^{(0)} + \ldots $$
Substitusi pada urutan pertama gangguan energi $E_n^{(0)} + E^{(1)}$ ke dalam persamaan kedua di posting Anda memberikan: $$ E^{(1)} c_{n}^{(0)} = \sum_{n^{'}} H_{n n^{'}} c_{n^{'}}^{(0)} $$ Atau tulis ulang dengan cara berikut: $$ \sum_{n^{'}} (H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}})c_{n^{'}}^{(0)} = 0 $$Persamaan ini memiliki solusi, sebagai sistem dengan sisi kanan nol, hanya jika matriks yang mendefinisikan sistem mengalami degenerasi. Untuk matriks kuadrat, ini setara dengan hilangnya determinan:$$ \boxed{\det(H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}}) = 0} $$
Persamaan ini adalah persamaan sekuler tersebut di atas. Dan nilai eigen$E^{(1)}$ gangguan menentukan koreksi energi, dan solusi persamaan koefisien $c_{n^{'}}^{(0)}$.
Dimungkinkan untuk mengatur perluasan untuk kasus yang merosot tetapi hanya jika Anda menggunakan dasar yang "benar". Basis yang "benar" adalah basis yang mendiagonalisasi gangguan di subruang minat yang merosot. Kemudian dengan konstruksi tidak akan ada suku-suku off-diagonal pada subruang ini, yaitu dalam basis baru dengan vektor basis$\vert\alpha_i\rangle$ maka $\hat V\vert\alpha_i\rangle=\lambda_i\vert\alpha_i\rangle$, kamu punya $\langle \alpha _k\vert \hat V\vert \alpha_j\rangle=\delta_{kj}$ jadi Anda tidak pernah membagi $0$ karena pemekaran tidak termasuk istilah dimana $k=j$.
Jika Anda menggunakan basis baru ini maka Anda dapat melanjutkan seolah-olah masalahnya tidak merosot. Prosedurnya masih bisa gagal jika terjadi gangguan$\hat V$telah mengulangi nilai eigen di subruang minat yang merosot; dalam hal ini tidak ada yang bisa dilakukan, yaitu tidak ada ekspansi perturbatif yang jelas akan ada untuk kondisi degenerasi yang tersisa.