Bantuan dengan Teorema Bukti Borel-Lebesgue
Teorema, seperti yang terlihat dalam buku teks Analisis 1 oleh Vladimir A.Zorich:
Setiap keluarga interval terbuka, yang mencakup interval tertutup, berisi subfamili terbatas, yang mencakup interval tertutup.
Bukti. Membiarkan$S=\{U\}$ jadilah keluarga interval terbuka $U$ yang mencakup interval tertutup $[a,b]=I_1$. Jika$I_1$ tidak dapat dicakup oleh interval keluarga yang terbatas $S$, lalu kami bagi $I_1$dalam dua bagian. Setidaknya salah satu bagian, kami tunjukkan dengan$I_2$, memungkinkan tidak ada cakupan yang terbatas. Kami mengulangi proses ini dengan interval$I_2$ dan seterusnya.
Dengan demikian, kami membuat urutan bersarang $I_1\supset I_2 \supset \dots \supset I_n \supset \dots$ interval tertutup, di antaranya tidak ada yang memungkinkan cakupan subfamili terbatas S. Sejak panjangnya $I_n$ adalah sama dengan $|I_n|=|I_1|\cdot 2^{-n}$, urutannya $\{I_n\}$berisi interval dengan panjang yang sangat kecil. Menurut Properti Interval Bersarang, ada benarnya$c$, yang ada di semua interval ini $I_n, n\in \mathbb{N}$. Sejak$c \in I_1 = [a,b]$, ada interval terbuka $ (\alpha, \beta)=U \in S$, yang berisi $c$, yaitu, $\alpha < c < \beta$. Membiarkan$\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$. Dalam urutan interval yang dibuat sebelumnya, kita dapat menemukan interval$I_n$, seperti yang $|I_n|< \epsilon$. Sejak$c \in I_n$ dan $|I_n|<\epsilon$, itu mengikuti itu $I_n \subset U=(\alpha, \beta)$. Ini bertentangan dengan fakta bahwa interval$I_n$tidak dapat ditutupi dengan interval keluarga yang terbatas. Dan karena itu pernyataan awal itu benar.
Akhir pembuktian.
Dua hal yang gagal saya pahami:
- Mengapa pilihan $\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$yang bagus, dan bagaimana Anda bisa memikirkannya sendiri? Atau informasi apa yang kita miliki sebelum memilih$\epsilon$, seharusnya menunjukkan pilihan apa yang seharusnya?
- Mengapa dari $c\in I_n$ dan $|I_n|<\epsilon $ setelah itu $I_n\subset U=(\alpha, \beta)$ ?
Saya menerjemahkan teks dari bahasa jerman, saya harap tidak ada perbedaan antara istilah-istilah tersebut.
Jawaban
$c-\alpha$ adalah jarak antara $c$ dan ujung bawah interval $(\alpha,\beta)$. Demikian pula,$\beta-c$ adalah jarak dari $c$ke ujung atas interval. Biasanya kami akan menulis$\vert \alpha-c\vert$ dan $\vert \beta-c\vert$, tapi karena kita tahu itu $\alpha<c<\beta$, kita dapat mengosongkan nilai absolut dan memilih urutan pengurangan yang benar: $c-\alpha$ karena $\alpha<c$, dan $\beta-c$ karena $c<\beta$. Dan kemudian minimum$\epsilon$ dari keduanya hanyalah jarak minimum $c$ke batas interval. Artinya segala sesuatu yang lebih dekat dari$\epsilon$ untuk $c$ keduanya lebih besar dari $\alpha$ dan lebih kecil dari $\beta$, jadi semua yang ada di kejauhan $\epsilon$ dari $c$ juga di dalam interval $(\alpha,\beta)$. Dan itulah yang terjadi$I_n$: karena mengandung $c$ dan memiliki panjang lebih kecil dari $\epsilon$, semua menunjuk $I_n$ lebih dekat dari $\epsilon$ untuk $c$, dan dengan demikian terkandung di dalamnya $(\alpha,\beta)$. Dan begitu juga$I_n$.