Berapa banyak lubang yang dimiliki proyeksi dari suatu ragam aljabar?

Question

Membiarkan $V$ menjadi subvarietas tertutup dari $\mathbf{P}^n$. (Kami mengerjakan bidang tertutup aljabar.) Definisikan$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ oleh $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, dimana $P_0$ adalah intinya $(0,0,...,0,*)$ di $\mathbf{P}^n$.

Jika hanya $\pi$ didefinisikan di semua $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ akan menjadi subvarietas tertutup dari $\mathbf{P}^{n-1}$. Tidak, dan$V$ tidak perlu menjadi subvarietas tertutup dari $\mathbf{P}^{n-1}$. (Contoh mudah:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) Masih bisa dikatakan begitu $\pi(V)$ mengandung $\overline{\pi(V)}\setminus W$, dimana $W$ adalah subvarietas tertutup dari codimension positif dalam $\overline{\pi(V)}$ dan gelar $\leq \deg(V)$, katakan? Bagaimana?

Answer 1

Ledakan untuk mendapatkan morfisme $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Membiarkan$\widetilde{V}$ menjadi transformasi yang tepat $V$ di $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. Kemudian$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.

Sekarang kita bisa menulis $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ dimana $C_{P_0}V$ adalah kerucut singgung dari $V$ di $P_0$.

Begitu $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (yang dalam notasi Anda adalah $\pi(V)$) mengandung $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.

Seperti disebutkan di atas, $\Pi(\widetilde{V})$ sama $\overline{\pi(V)}$. Bahkan,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ adalah bagian tertutup dari pembagi luar biasa $E$, dan $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ adalah isomorfisme.

Jadi kami mengerti $\pi(V)$ (dalam notasi Anda) berisi $\overline{\pi(V)} \setminus W$ dimana $W \subset \mathbf P^{n-1}$ adalah subset tertutup isomorfik untuk proyeksi dari kerucut tangen $V$ di $P_0$.

Set tertutup $W$ memiliki dimensi $\operatorname{dim}(V)-1$. Di samping itu,$\pi(V)$ memiliki dimensi yang sama dengan $V$ kecuali kalau $V$ adalah kerucut yang puncaknya berisi $P_0$, tapi dalam kasus itu $\pi(V)$ adalah himpunan tertutup.

Adapun derajat, derajat $\mathbf P(C_{P_O}V))$sebagai subkema dari$E$ sama dengan banyaknya $V$ di $P_0$, maka di atas dibatasi oleh $\operatorname{deg}(V)$. Sejak$W$adalah (isomorfik untuk) subset tertutup yang mendasari skema ini, derajatnya tidak lebih besar dari skema. Jadi kita punya$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ seperti yang dipersyaratkan.