Berapa jumlah ellipsoid John untuk pasangan himpunan cembung (9 dan 15 dimensi) $4 \times 4$ matriks positif-pasti?
Berapa ellipsoid John ( JohnEllipsoid ) untuk himpunan cembung 9 dan 15 dimensi ($A,B$) dari $4 \times 4$positif-pasti, jejak-1 matriks simetris (Hermitian) (dalam bahasa informasi-kuantum, himpunan "dua-ralat" dan "dua-qubit" "matriks kerapatan" [ DensityMatrices ], masing-masing)? (Apakah badan-badan ini "simetris-terpusat", dalam arti satu aspek dari teorema yang mendasari Teorema John ?)
Selanjutnya, apa hubungan (perpotongan,…) elipsoid ini dengan subset cembung penting dari $A$ dan $B$ terdiri dari matriks yang tetap positif-pasti di bawah operasi (tidak sepenuhnya positif) dari transposisi parsial — di mana empat $2 \times 2$ blok dari $4 \times 4$matriks dialihkan pada tempatnya? (Telah ditetapkan [ MasterLovasAndai ] bahwa pecahan volume Euclidean ditempati oleh subset cembung "PPT" [positive-partial-transpose / separable / nonentangled] ini adalah$\frac{29}{64}$ untuk $A$ dan $\frac{8}{33}$ untuk $B$.)
Juga, apa hubungan lebih jauh dari ellipsoid ini dengan "inspheres" (bola maksimal yang tertulis di $A$ dan $B$[ SBZ ])? Inspheres juga terletak dalam set PPT. Mungkinkah ellipsoid dan inspirasi John bertepatan?
Selain itu, apa yang mungkin menjadi ellipsoid John sendiri untuk set PPT ini?
Ada konsep menarik dari "steering ellipsoid", yang dirujuk dalam kutipan berikut hal. 28 [SteeringEllipsoid] :
Untuk status dua qubit, status bersyarat yang dinormalisasi Alice dapat mengarahkan sistem Bob untuk membentuk elipsoid di dalam bola Bloch milik Bob, yang disebut sebagai elipsoid kemudi (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014 ).
Namun, "bola Bloch" adalah 3-dimensi, jadi elipsoid kemudi dengan status dua qubit tidak bisa menjadi elipsoid John (15 dimensi) yang diminta di atas.
Tentu saja, pertanyaan apa saja ellipsoid John dapat ditanyakan untuk kumpulan cembung $m \times m$ simetris dan $n \times n$ Matriks kerapatan Hermitian (positif-pasti, jejak 1) ($m,n \geq 2$). Untuk$m,n=2$, jawabannya nampaknya sepele, yaitu cembung mengatur sendiri. Untuk$m,n =3$, sepertinya tidak sepele. Namun, hanya untuk nilai komposit$m,n$, apakah kita memiliki pertanyaan tambahan mengenai subset cembung negara bagian PPT.
Artikel Wikipedia yang diberikan oleh hyperlink pertama di atas menjelaskan
"volume maksimum yang tertulis ellipsoid sebagai Löwner-John ellipsoid bagian dalam".
[ DensityMatrices ]: Slater - Rumus ringkas untuk probabilitas keterpisahan Hilbert – Schmidt dua qubit umum
[ JohnTheorem ]: Howard - Teorema ellipsoid John
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai dan formula setara yang memverifikasi$\frac8{33}$ probabilitas keterpisahan Hilbert – Schmidt dua qubit dan dugaan nilai rasional pendamping
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson, dan Życzkowski - Pada struktur benda negara dengan transpos parsial positif
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen, dan Gühne - Setir kuantum
Jawaban
Mari kita mulai dengan dua rumus yang tampaknya relevan. Yang pertama untuk volume a$k$elipsoid dimensi [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {persamaan} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ kanan)}, \ end {persamaan} di mana$a_i$'s adalah panjang dari setengah sumbu.
Yang lainnya adalah untuk volume himpunan $m \times m$simetris, matriks pasti positif dari jejak 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {persamaan} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ kiri (\ frac {m + 1} {2} \ kanan) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ kiri (\ frac {l } {2} +1 \ kanan)} {m! \ Gamma \ kiri (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ kanan)}. \ end {persamaan}
Untuk kasus ("dua-rebit") $m=4$ ($k=9$) yang menarik, rumusnya menghasilkan \ begin {persamaan} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ kira-kira 0,0016106. \ end {persamaan}
Jadi, pertanyaan yang menarik bagi kita adalah berapa proporsi volume ini yang ditempati oleh ellipsoid Lowner-John bagian dalam untuk himpunan cembung dari himpunan 9 dimensi yang ditunjukkan $4 \times 4$(kepadatan). Selanjutnya, berapa besarnya dibandingkan dengan$\frac{29}{64}$, pecahan yang ditetapkan oleh Lovas dan Andai untuk keterpisahan — ekuivalen, PPT — probabilitas dari status dua-rebit? Juga, jika dibandingkan dengan volume bagian dalam (yang tidak dapat kami hitung secara langsung).
Jadi, untuk mendekati pertanyaan ini, kami menghasilkan pasangan "matriks kepadatan dua-rebit" yang dihasilkan secara acak (detik, 4, RandomDensityMatrices ), menggunakan metode Ginibre-ensemble. Kemudian, kami mengambil nilai absolut dari perbedaannya dan dibagi dengan 2. Sembilan entri independen (tiga entri diagonal, dan enam entri diagonal atas) dari matriks resultan, diambil sebagai sumbu semi.
Saat ini, kami telah menghasilkan hampir enam belas juta pasangan seperti itu. Sepasang$4 \times 4$ matriks kepadatan yang kami temukan volume ellipsoid maksimum terkait, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (hanya 0,0000432642 dari $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), sejauh ini adalah \ begin {persamaan} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {persamaan} dan \ begin {persamaan} \ kiri (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ kanan). \ end {persamaan} Satu-setengah dari perbedaan absolut untuk dua matriks dari tiga entri diagonal terdepan dan enam entri off-diagonal teratas digunakan sebagai sembilan semi-sumbu dalam rumus pertama yang diberikan di atas.
Mari kita tunjukkan juga bahwa ada alternatif — tetapi setara dengan faktor normalisasi tertentu — pendekatan untuk menghitung volume $m \times m$matriks kepadatan ( AndaiVolume ). Andai, bagaimanapun, membatasi perhatian pada$2 \times 2$ Kasus Hermitian, dan tidak memberikan alternatif eksplisit untuk rumus volume Zyczkowski dan Sommers yang disajikan di atas - jadi, pada saat ini, kami tidak yakin seperti apa bentuknya.