Berapa kata dengan empat huruf yang bisa dibentuk jika setiap huruf bisa digunakan maksimal $2$ waktu?
Anda memiliki lima huruf $A, B, C, D$ dan $E$. Berapa banyak kata dengan empat huruf yang dapat dibentuk jika setiap huruf bisa digunakan maksimal$2$waktu? (surat muncul di kata$0, 1$ atau $2$ waktu.)
saya telah mencoba $5\cdot4\cdot3\cdot3$ dan kemudian berpikir bahwa posisi dapat diatur $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Namun, ini harus dibagi$2$ karena $A~A~\_~\_$ dan $A~A~\_~\_$adalah hasil yang sama. Tetapi jawaban yang saya dapat tidak benar. Jawaban yang benar menurut kuncinya adalah$540$.
Jawaban
Dengan $5$ huruf, Anda bisa membuat $5^4$ kata empat huruf.
Tapi di antara kata-kata ini,
- ada yang satu hurufnya diulang empat kali (ada yang jelas $5$ kata-kata seperti itu);
- dan ada kata-kata dengan surat yang diulang tiga kali. Ada$5 \times 4 \times 4$ kata-kata seperti itu (memang Anda harus memilih tiga huruf - $5$ kemungkinan, surat lainnya - $4$ kemungkinan tersisa, dan akhirnya tempat surat lainnya - $4$ kemungkinan).
Jadi jumlah kata yang ingin Anda hitung adalah $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$
Ada tiga kemungkinan kasus.
1. Semua huruf berbeda
Suka ($A, B, C, D$). Memilih$4$ huruf keluar dari $5$ dan mengatur mereka memberi $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ cara.
2. Dua berbeda dan dua sama
(Suka $A,B,C,C$). Memilih$3$ huruf keluar dari $5$ dan sekali lagi memilih satu dari itu $3$ huruf sebagai huruf keempat dan menyusunnya: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ cara.
3. Hanya dua huruf yang berbeda
(Suka $A,A,C,C$). Memilih$2$ huruf keluar dari $5$ surat dan mengatur memberi $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ cara.
Menambahkan semua ini memberi kita $540$.