Berapa kata dengan empat huruf yang bisa dibentuk jika setiap huruf bisa digunakan maksimal $2$ waktu?

Aug 17 2020

Anda memiliki lima huruf $A, B, C, D$ dan $E$. Berapa banyak kata dengan empat huruf yang dapat dibentuk jika setiap huruf bisa digunakan maksimal$2$waktu? (surat muncul di kata$0, 1$ atau $2$ waktu.)

saya telah mencoba $5\cdot4\cdot3\cdot3$ dan kemudian berpikir bahwa posisi dapat diatur $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Namun, ini harus dibagi$2$ karena $A~A~\_~\_$ dan $A~A~\_~\_$adalah hasil yang sama. Tetapi jawaban yang saya dapat tidak benar. Jawaban yang benar menurut kuncinya adalah$540$.

Jawaban

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 22:27

Dengan $5$ huruf, Anda bisa membuat $5^4$ kata empat huruf.

Tapi di antara kata-kata ini,

  • ada yang satu hurufnya diulang empat kali (ada yang jelas $5$ kata-kata seperti itu);
  • dan ada kata-kata dengan surat yang diulang tiga kali. Ada$5 \times 4 \times 4$ kata-kata seperti itu (memang Anda harus memilih tiga huruf - $5$ kemungkinan, surat lainnya - $4$ kemungkinan tersisa, dan akhirnya tempat surat lainnya - $4$ kemungkinan).

Jadi jumlah kata yang ingin Anda hitung adalah $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

1 SarGe Aug 16 2020 at 22:29

Ada tiga kemungkinan kasus.

1. Semua huruf berbeda

Suka ($A, B, C, D$). Memilih$4$ huruf keluar dari $5$ dan mengatur mereka memberi $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ cara.

2. Dua berbeda dan dua sama

(Suka $A,B,C,C$). Memilih$3$ huruf keluar dari $5$ dan sekali lagi memilih satu dari itu $3$ huruf sebagai huruf keempat dan menyusunnya: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ cara.

3. Hanya dua huruf yang berbeda

(Suka $A,A,C,C$). Memilih$2$ huruf keluar dari $5$ surat dan mengatur memberi $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ cara.

Menambahkan semua ini memberi kita $540$.