Bermasalah dengan $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

Saya akhirnya mencoba untuk menyelesaikannya $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

dengan menggunakan diferensiasi di bawah integral. Saya menyadari bahwa ini paling mudah dilakukan dengan menggunakan residu tetapi saya bermaksud masalah ini untuk memperkenalkan siswa kalkulus 2 / persamaan diferensial tingkat lanjut saya kepada beberapa teknik menarik sebelum mereka mengambil analisis nyata.

Diferensiasi di bawah integral pertama kali mengarah ke

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

dengan menggunakan integral Dirichlet dan lagi

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Untuk mengatasi ODE orde kedua ini, kita membutuhkan dua kondisi awal. Integral untuk$I'(\alpha)$ mengarah ke hasil yang salah $I'(0) = 0$ tetapi versi yang ditulis ulang mengarah ke hasil yang benar dari $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Saya kesulitan membenarkan ini.

Setiap bantuan atau bimbingan dihargai. Saya juga akan menerima argumen yang lebih sederhana tentang mengapa$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

Anda mengasumsikan itu $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ tapi jika $\alpha=0$, kemudian $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ Jadi, persamaannya $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ benar jikaf $\alpha>0$.