Bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
Ini adalah pertanyaan masuk PhD dari TIFR 2020. Pertanyaan itu membutuhkan jawaban eksplisit. Saya tahu bahwa jumlah parsial dievaluasi menggunakan rumus Habel dalam Teori Bilangan tetapi saya percaya mungkin ada metode yang lebih baik untuk rangkaian formulir ini. Adakah yang bisa berbagi pemikiran mereka?
Jawaban
Bandingkan jumlah tersebut dengan integral pasti yang sesuai:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
Juga:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
Jadi, jumlahnya di antara $1332$ dan $1333$ dan bagian integralnya adalah $1332$.
Petunjuk: Pertimbangkan fungsinya$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ dan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk menyimpulkannya $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Anda sekarang dapat menjumlahkan dan menggunakan fakta bahwa hampir semuanya akan teropong.
Inilah cara lain untuk mempertimbangkan jawaban para uskup yang bau. Ini adalah jawaban turunan dan sama persis dengan jawaban Stinking Bishop. Saya hanya menyipitkan mata dan melihatnya dari sudut yang berbeda.
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
Sekarang $\int_a^b C dx = C[b-a]$ begitu $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ dan $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ begitu
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Sebagaimana dicatat $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
Tapi perhatikan juga
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ dapat diindeks ulang sebagai $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ yang sama dengan $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.
Jadi kita punya
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Dan dengan mudah diverifikasi bahwa jika $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ kemudian $M< n+1 \le M+1$ sehingga $n\le M< n+1$ begitu $\lfloor M\rfloor=n$.
Begitu $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.