Bingung tentang Produk Tensor modul-R

Question

Dalam buku Tu tentang Geometri Diferensial, ia pertama kali mendefinisikan $Free(V\times W)$ sebagai:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ dimana jumlahnya terbatas.

Cara saya memahaminya adalah konstruksi di atas adalah kombinasi formal dan melupakan struktur modul yang sebenarnya. Dengan kata lain, jika$v_1+v_2 = v_3$, tidak benar bahwa di $Free(V\times W)$ bahwa $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Sekarang untuk membentuk produk tensor yang kita bagi dengan submodul, $S$ direntang oleh elemen bentuk: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Kemudian kami memiliki peta dari produk ke produk tensor, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

Namun, jika $v_3 = v_1 + v_2$, maka saya tidak bisa menunjukkan itu $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ yang seharusnya menjadi kasus jika $\otimes$adalah peta bilinear modul homomorfisma .

Answer 1

Sejak $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ dan $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ didefinisikan oleh $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ kondisi $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ memberitahu kita itu $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ yang sama dengan $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Juga amati relasi lain yang mendefinisikan$S$ memberi kami \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}

---

Ingatlah jika $M$ adalah $R$-module dan $S$ adalah submodul dari $M$, hasil bagi $M/S$ didefinisikan oleh $M/\!\sim$, dimana $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ Dalam hal ini, kelas kesetaraan $m \in M$ diberikan oleh $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (karenanya $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), dan kami mendefinisikan file $R$struktur -module di $M/S$ oleh $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Answer 2

Jadi untuk anak cucu, saya ingin menulis jawaban untuk orang lain yang mungkin memiliki kebingungan yang sama. Seperti yang diklarifikasi oleh @KCd, elemen dari$Free(V\times W)$ dalam bentuk,

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

Namun jika kita menulis elemen tertentu $Free(V\times W)$ sebagai $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ dan $v_3 = v_1 + v_2$ kemudian $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ Dengan kata lain, di dalam tanda kurung di notasi kami, kami tidak mengambil jumlah resmi, tetapi menggabungkan elemen modul seperti biasa.