Bisakah asumsi dilepaskan tanpa menjadi bagian dari pohon?

Question

Dengan rumus berikut, gunakan deduksi alami untuk membuktikan bahwa rumus tersebut berlaku.

Jawaban yang diberikan oleh profesor adalah sebagai berikut:

Saya ingin memahami bagaimana kita dapat melepaskan asumsi phi di braket 3 tanpa benar-benar menurunkannya dari pohon itu sendiri seperti psi di braket 2?

Answer 1

Bisakah asumsi dilepaskan tanpa menjadi bagian dari pohon?

Iya.

Lihat misalnya Dirk van Dalen (1997) "Logika dan Struktur", hal. 34:

Berkenaan dengan pembatalan hipotesis, kami mencatat bahwa seseorang tidak selalu membatalkan semua kemunculan proposisi$\psi$. Ini jelas dibenarkan, karena orang merasa bahwa menambahkan hipotesis tidak membuat proposisi dapat diremehkan (informasi yang tidak relevan selalu dapat ditambahkan). Namun, adalah masalah kehati-hatian untuk membatalkan sebanyak mungkin. Mengapa membawa lebih banyak hipotesis daripada yang diperlukan?
Selanjutnya seseorang mungkin melamar$(\to I)$ jika tidak ada hipotesis yang tersedia untuk pembatalan, misalnya $\dfrac{\phi}{\psi \to \phi}(\to I)$ adalah derivasi yang benar, menggunakan just $(\to I)$.
Singkatnya: [...] mencoret beberapa (atau semua) kejadian, jika ada [...].

Pembenaran semantik untuk ini adalah monotonicity (juga dikenal sebagai pelemahan): Kami memilikinya

Jika $\Gamma \vDash \phi$, kemudian $\Gamma, \psi \vDash \phi$.

Dengan teorema deduksi, itu juga mengikuti itu

Jika $\Gamma \vDash \phi$, kemudian $\Gamma \vDash \psi \to \phi$.

Jika kesimpulan dapat dibuat dari satu set premis tertentu, maka kesimpulan itu tidak "hilang" dengan menambahkan pengetahuan tambahan, jadi kita selalu dapat menambahkan lebih banyak premis atau anteseden yang sebenarnya tidak dibutuhkan. Ide semantik ini ditransfer ke derivasi.

Hal yang sama berlaku untuk semua aturan lain yang memungkinkan untuk melepaskan asumsi, yaitu $(\lor E)$, $(\neg I)$ dan $(RAA)$.