Bisakah kita memiliki gerakan kacau karena ketepatan perhitungan kita yang terbatas? [duplikat]

Question

Saya memahami gerakan kacau yang berarti bahwa gangguan yang sangat kecil pada kondisi awal awal dapat menyebabkan lintasan yang sangat berbeda dalam ruang fase. Oleh karena itu, kita tidak pernah dapat memprediksi gerakan secara akurat, karena kita tidak pernah dapat memiliki kondisi awal yang 100% akurat.

Bisakah kita melihat ketidakmampuan untuk memprediksi keadaan masa depan dengan cara yang berbeda, terkait dengan ketepatan perhitungan kita (dilakukan di komputer)? Adakah situasi di mana kita dapat mengetahui kondisi awal dengan akurasi 100%, tetapi masih tidak dapat mempercayai gerakan yang diprediksi, karena gerakan bergantung pada keakuratan kalkulasi perantara, yang, dilakukan di komputer, terbatas dan oleh karena itu tidak sempurna tepat?

Misalnya, jika saya perlu menghitung integral numerik sebagai langkah menuju jawaban akhir, jika integral saya adalah komputer dengan akurasi 16 floating point vs 32 floating point, ini akan sesuai dengan perbedaan pada digit signifikan keenam belas, yang kemudian bisa jadi cukup untuk menimbulkan perilaku yang sangat berbeda dalam lintasan berikutnya.

Kami dapat membayangkan sebuah kasus bahwa tidak peduli seberapa akurat perhitungan Anda, akurasi tambahan dalam perhitungan akan menyebabkan lintasan menyimpang secara kacau. Apakah fenomena ini diketahui ada, dan apakah ada contohnya?

Answer 1

Pertanyaan judul sedikit berbeda dari yang ada di badan postingan, jadi mari kita lihat secara terpisah:

1. Bisakah kita memiliki gerakan kacau karena ketepatan perhitungan kita yang terbatas?

Ya, Lorenz sendiri menggambarkan fenomena tersebut, menyebutnya kekacauan komputasi [Lorenz 1989]:

Ketika seseorang mencari solusi perkiraan dari satu set persamaan diferensial dengan integrasi numerik bertahap, pilihan kenaikan waktu $\tau$ [...] dapat menghasilkan solusi yang kacau, bahkan ketika solusi sebenarnya mendekati siklus batas atau titik tetap.

1. tidak bisa mempercayai gerakan yang diprediksi [?]

Setidaknya untuk sistem hiperbolik sebenarnya ya, Anda bisa mempercayainya. Apa yang membuat Anda tercakup adalah yang disebut teorema bayangan , yang menjamin bahwa, meskipun Anda memang tidak mensimulasikan lintasan sebenarnya dari kondisi awal yang Anda pilih, ada titik awal yang sedikit berbeda yang lintasannya tetap sewenang-wenang dekat dengan yang dihasilkan komputer lintasan. Cek juga jawaban ini .

[Lorenz 1989] Computational chaos-a prelude to computational instability , Physica D 35 (3), 1989, Pages 299-317.

Answer 2

Ya, sangat mungkin bahwa pembulatan kesalahan karena aritmatika presisi hingga dapat secara dramatis mempengaruhi hasil simulasi komputer dari sistem non-linier. Bahkan, salah satu pelopor teori chaos modern, Edward Lorenz , terinspirasi untuk mempelajari sistem chaos ketika mengalami masalah ini. Lorenz menjalankan simulasi cuaca yang melibatkan persamaan diferensial non-linier pada komputer digital awal. Ketika dia mencoba mereproduksi skenario dengan memasukkan nilai awal dengan ketepatan tiga tempat desimal, dia menemukan bahwa putaran ulang menyimpang sangat cepat dari keluaran aslinya. Penyelidikan penyebab perilaku mengejutkan ini, yang kemudian digambarkan Lorenz sebagai efek kupu - kupu , mengarah pada penemuan atraktor Lorenz .