Bisakah kita mendefinisikan $z^{\frac{1}{2}}$ sebagai fungsi holomorfik $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Mempertimbangkan $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Kita dapat melihat bahwa, misalnya, $z^{\frac{1}{2}}$ dapat didefinisikan sebagai fungsi holomorfik dekat $z=\frac{1}{2}$, dengan chossing lingkungan yang sangat kecil $z=\frac{1}{2}$, dan tentukan yang sesuai $arg(z)$ agar terus berlanjut di sana.

Pertanyaan saya: Bisa $z^{\frac{1}{2}}$ dianggap sebagai fungsi holomorfik $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Sini$D$ adalah disk unit $\mathbb{C}$.

Dengan fungsi holomorfik yang saya maksud adalah peta$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Seperti yang dijawab di bawah ini , kami melihat bahwa jawaban untuk pertanyaan saya adalah negatif. Saya ingin mempertimbangkan pertanyaan terkait tambahan berikut:

Pertanyaan tambahan : pertanyaan serupa tapi kali ini kami mempertimbangkan domain$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, untuk yang sangat kecil $\epsilon$.

Answer 1

Tidak, ini tidak mungkin. Fungsi ini akan dibatasi dalam lingkungan yang tertusuk$0$, yang akan membuat $0$ singularitas yang dapat dilepas dari $z^{\frac{1}{2}}$. Tapi kemudian$0$ juga akan menjadi singularitas yang dapat dilepas dari turunannya $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, yang tidak dapat memiliki singularitas yang dapat dilepas di $0$ karena tidak dibatasi dalam lingkungan yang tertusuk.