Bukti bahwa ruang tangen adalah ruang vektor?
Dimulai dengan definisi ini
Sebuah kurva pada manifold$\mathcal M$ adalah halus (mis $C^{\infty}$) peta $\sigma $ dari beberapa interval terbuka $(-\epsilon,\epsilon)$ dari garis nyata menjadi $\mathcal M$
Dua kurva $\sigma_1$ dan $\sigma_2$yang singgung pada suatu titik $p$ di $\mathcal M$ jika sebuah) $\sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p$ dan (b) Dalam beberapa sistem koordinat lokal $(x^1,x^2,\ldots,x^m)$ sekitar $p$, dua kurva bersinggungan dalam arti biasa sebagai kurva masuk $\mathbb R^m$, $$ (x^i \circ \sigma_1)'(0) = (x^i \circ \sigma_2)'(0) $$ sini, $i=1,\ldots,m$
The vektor singgung didefinisikan sebagai kelas kesetaraan kurva di$\mathcal M$di mana hubungan kesetaraan antara dua kurva adalah bahwa mereka bersinggungan pada titik $p$.
Ruang tangen adalah$T_p\mathcal M$ untuk $\mathcal M$ di titik $p$adalah himpunan dari semua vektor tangen pada titik$p$
Saya mencoba membuktikan ruang singgung pada titik tersebut $p$ dalam banyak hal $\mathcal M$ adalah ruang vektor.
Saya mulai dengan $v_1 \in T_p\mathcal M$, dan $v_2 \in T_p\mathcal M$, dan saya memiliki definisi berikut $$ v_1 + v_2 := [\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )] \\ r \ v_1 := [\phi^{-1}\circ \ (r \phi\ \circ \sigma_1)]\ \forall r \in \mathbb R $$
Saya ingin menunjukkan itu $v_1 + v_2 \in T_p \mathcal M$ dan $r \ v_1 \in T_p \mathcal M$
Sebagai $v_1 ,v_2 \in T_p\mathcal M$, kemudian $$ \sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p $$
Sekarang, untuk $v_1 + v_2$ menjadi vektor di $p$ , $\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = p$ $$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1} \ (\phi\ ( \sigma_1(0)) + \phi\ (\sigma_2(0)) ) \\ = \phi^{-1}((\phi\ ( p) + \phi\ (p) )) \\ = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) \neq p $$
Saya tidak bisa membuktikan hubungan closure mulai dari definisi, apa yang saya lakukan salah?
Edit:
Buku yang saya ikuti "Isham, Chris J. Geometri diferensial modern untuk fisikawan. Vol. 61. World Scientific, 1999." , mengambil bagan khusus$(U,\phi)$ seperti yang $\phi(p) = \mathbf 0 \in \mathcal M$, menggunakan pilihan ini
$$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) = \phi^{-1}(0) = p $$Jadi, penutupan tersebut terbukti sebagai tambahan. Tapi bagan ini adalah pilihan khusus. Tetapi definisi berlaku untuk grafik apa pun di sekitar$p$, jadi pilihan diagram lainnya akan memberikan hasil yang sama.
Jawaban
Vektor garis singgung a $p \in M$ adalah kelas kesetaraan kurva halus $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ seperti yang $\sigma(0) = p$ ("kurva halus dalam $M$ melalui $p$"). Di sini $\epsilon = \epsilon (\sigma)$adalah parameter yang mungkin berbeda dari kurva ke kurva. Hubungan ekivalensi diberikan oleh$\sigma_1 \sim \sigma_2$ jika $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$untuk beberapa grafik$\phi$ sekitar $p$. Mudah untuk memverifikasi itu$\sigma_1 \sim \sigma_2$ iff $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$untuk semua grafik$\phi$ sekitar $p$.
Diberikan kurva yang halus $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ melalui $p$, Anda tentu saja bisa mendefinisikan $r \cdot \sigma : (-\epsilon/\lvert r \rvert,\epsilon/\lvert r \rvert) \to M, (r \cdot \sigma)(t) = \sigma (rt)$. Sayangnya tidak ada definisi yang mirip tentang$\sigma_1 + \sigma_2$ untuk kurva $\sigma_i$ di $M$ lewat $p$. Anda mencoba menambahkannya melalui definisi$$\sigma_1 + \sigma_2 = \phi^{-1}(\phi\sigma_1 + \phi \sigma_2).$$ Ini memanfaatkan fakta bahwa grafik $\phi : U \to V \subset \mathbb R^n$ ambil nilai-nilai $\mathbb R^n$, tetapi secara umum cara ini tidak berfungsi karena Anda tidak dapat memastikannya $\phi\sigma_1(t) + \phi \sigma_2(t) \in V$ untuk $\lvert t \rvert$cukup kecil. Bahkan tidak$\phi\sigma_1(0) + \phi \sigma_2(0) = \phi(p) + \phi(p) = 2\phi(p)$ secara umum terkandung dalam $V$.
Solusinya adalah dengan hanya mempertimbangkan grafik seperti itu $\phi(p) = 0$. Ini selalu bisa dicapai jika kita mengganti grafik sewenang-wenang$\phi$ oleh $T\phi$ dimana $T$ adalah terjemahan oleh $-\phi(p)$. Hal yang sama berlaku untuk definisi Anda tentang$r \cdot \sigma$.
Dengan melakukan itu, Anda akan melihat bahwa sebenarnya Anda mendapatkan struktur ruang vektor pada $T_p M$. Secara resmi saya menyarankan untuk melanjutkan sebagai berikut:
Menunjukkan bahwa $\phi_* : T_pM \to T_0V, \phi_*([\sigma]) = [\phi\sigma]$, adalah kebijaksanaan.
Menunjukkan bahwa $T_0V$ menjadi ruang vektor melalui $[\tau_1] + [\tau_2] = [\tau_1 + \tau_2]$ dan $[r \cdot \tau] = [r \cdot \tau]$, dimana $(\tau_1 + \tau_2(t) = \tau_1(t)+ \tau_2(t)$ dan $(r \cdot \tau)(t) = r \cdot \tau(t)$. Perhatikan bahwa selalu ada interval maksimal$\tau_1(t)+ \tau_2(t) \in V$ dan $r \cdot \tau(t) \in V$; kami menganggap interval ini sebagai domain$\tau_1 + \tau_2$ dan $r \cdot \tau$. Maka mudah untuk melihat peta itu$\mathbb R^n \to T_0V, v \mapsto \tau_v$ dengan $\tau_v(t) = tv$, memberikan isomorfisme ruang vektor yang menunjukkan itu $\dim T_0V = n$.
Perhatikan itu $\phi_*$ menginduksi struktur unik ruang vektor di $T_pM$ seperti yang $\phi_*$ menjadi isomorfisme ruang vektor.
Sekilas terlihat bahwa struktur ruang vektor menyala $T_pM$ tergantung pada pilihan $\phi$. Langkah terakhir adalah membuktikan bahwa ada dua grafik$\phi_1, \phi_2$ sekitar $p$ dengan $\phi_i(p) = 0$ menghasilkan struktur ruang vektor yang sama pada $T_pM$.