Bukti fungsi Gamma dan Beta

Question

Fungsi Beta ditentukan oleh integral$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ Dengan mengevaluasi $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ dengan dua cara berbeda, tunjukkan itu $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

saya punya bukti hubungan antara fungsi gamma dan fungsi beta tetapi setelah Anda mengganti pertama kali dan menukar integral mengapa fungsinya menjadi $x^{\alpha+\beta-1}$ setelah menyisir $x^{\alpha-1}$ dan $x^{\beta-1}$ seharusnya tidak $x^{\alpha+\beta-2}$?

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

Answer 1

Mari kita periksa garis krusial lebih detail. Substitusi$y=tx$ memberi $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Seperti yang Anda lihat, kami punya $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ dari mana tambahan tersebut $-1$menghilang. Itu saja.

Answer 2

Saya pikir lebih mudah jika Anda melakukannya dengan menggunakan story daripada melakukan integral yang rumit. Bayangkan dua distribusi Gamma$X \sim Gamma(a, \lambda)$ dan $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.

Dengan menggunakan keduanya, hitung sambungannya $f_{T,W}(t,w)$ distribusi dari:

$T = X + Y$ dan $W = \frac{X}{X+Y}$.

Sebagai sebuah cerita, bayangkan dua pegawai, bekerja di bank, keduanya bekerja pada tingkat yang sama $\lambda$. T adalah total waktu tunggu seseorang yang harus berurusan dengan kedua juru tulis, sedangkan W adalah pecahan yang ditunggu orang tersebut untuk juru tulis pertama.

Di luar distribusi gabungan, akan terlihat jelas bahwa ini adalah produk dari dua distribusi independen, yang satu adalah $Beta$. Ini juga jauh lebih mudah diingat.