Bukti hukum limit dan aturan turunan tampaknya secara diam-diam mengasumsikan bahwa limit ada sejak awal
Katakanlah saya sedang mencoba mencari turunan dari$x^2$menggunakan diferensiasi dari prinsip pertama. Argumen yang biasa akan berjalan seperti ini:
Jika$f(x)=x^2$, kemudian\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Sebagai$h$pendekatan$0$,$2x+h$pendekatan$2x$, jadi$f'(x)=2x$.
Sepanjang argumen ini, saya berasumsi bahwa$$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$sebenarnya adalah objek yang berarti—bahwa batas itu benar-benar ada. Saya tidak begitu mengerti apa yang membenarkan asumsi ini. Bagi saya, terkadang asumsi bahwa suatu objek terdefinisi dengan baik dapat membuat Anda menarik kesimpulan yang salah. Misalnya, dengan asumsi bahwa$\log(0)$masuk akal, kita dapat menyimpulkan bahwa$$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$Jadi asumsi bahwa$\log(0)$mewakili sesuatu yang berarti membuat kami salah menyimpulkan bahwa itu sama dengan$0$. Seringkali, untuk membuktikan bahwa suatu limit ada, kita memanipulasinya sampai kita dapat menuliskannya dalam bentuk yang sudah dikenal. Hal ini dapat dilihat pada pembuktian aturan rantai dan aturan produk. Tetapi seringkali tampaknya manipulasi itu hanya dapat dibenarkan jika kita tahu bahwa ada batasnya sejak awal! Jadi apa yang sebenarnya terjadi di sini?
Untuk contoh lain, aturan rantai sering dinyatakan sebagai:
Seandainya$g$terdiferensialkan pada$x$, dan$f$terdiferensialkan pada$g(x)$. Kemudian,$(f \circ g)$terdiferensialkan pada$x$, dan$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
Jika buktinya$(f \circ g)$terdiferensialkan pada$x$hanya menghitung turunan menggunakan definisi batas, sekali lagi saya merasa tidak puas. Bukankah perhitungan ini lagi-lagi membuat asumsi bahwa$(f \circ g)'(x)$masuk akal di tempat pertama?
Jawaban
Proposisi : Mari$c \in \mathbb{R}$. Memperkirakan$f$dan$g$didefinisikan dan sama satu sama lain pada beberapa bola terbuka yang tertusuk$(c - \delta) \cup (c + \delta)$dari$c$, di mana$\delta > 0$. Kemudian$\lim_{x \to c} f(x)$ada jika dan hanya jika$\lim_{x \to c} g(x)$ada. Dan jika salah satu batas ada, begitu juga yang lain, dan keduanya sama.
Sketsa pembuktian : Perhatikan definisi limit pada suatu titik$c$mementingkan dirinya sendiri hanya dengan poin yang dekat dengan$c$tapi tidak sama dengan$c$. Jadi berapapun nilainya$f$atau$g$pada$c$, atau dalam hal ini apakah mereka didefinisikan di sana atau tidak, tidak masalah. Sejak$f$dan$g$sama pada titik-titik yang dekat dengan$c$tapi tidak sama dengan$c$, pernyataan limit kami tentang salah satu fungsi di$c$karena itu harus juga berlaku untuk yang lain.$\square$
Ini membenarkan berbagai perhitungan limit yang sering kita lakukan, seperti yang Anda tunjukkan. Sebenarnya, mari kita lihat contoh Anda langkah demi langkah.
Jika$f(x)=x^2$, kemudian\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Sebagai$h$pendekatan$0$,$2x+h$pendekatan$2x$, jadi$f'(x)=2x$.
Apa arti atau implikasi dari urutan perhitungan ini? Nah, pada langkah terakhir/kesetaraan, kami menghitung$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, yang kami setujui ada dan sama dengan$2x$. Sejak fungsi$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$sama dengan$2x + h$di beberapa lingkungan yang bocor dari$0$, sekarang kita dapat menggunakan proposisi untuk menyimpulkan bahwa$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$sama dengan$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, yang sama dengan$2x$. Jadi pergi dari baris (3) ke baris (2) dibenarkan. Selanjutnya, fungsi$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$sama dengan$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$di beberapa lingkungan yang bocor dari$0$, jadi sekali lagi kita dapat menggunakan proposisi untuk membenarkan perpindahan dari baris (2) ke baris (1).
Jadi kami memiliki semacam alasan mundur, tetapi secara praktis ini tidak diperlukan dalam perhitungan batas biasa. Penalaran kita juga "berhasil" bahkan ketika batasnya tidak ada. Jika pada akhirnya kita sampai pada suatu limit yang ada, maka dengan sendirinya kita dapat bekerja mundur dan menjamin bahwa limit awal yang pertama ada; dan jika pada akhirnya kita sampai pada suatu batas yang tidak ada, maka dengan sendirinya batas pertama awal tidak mungkin ada, jika tidak, kita dapat menuruni rangkaian ekivalensi yang dijamin oleh proposisi untuk menjamin bahwa batas akhir itu ada.
Jadi dalam semua kasus semuanya "berjalan dengan baik". Hal penting yang perlu diperhatikan adalah bahwa kita memiliki ekuivalensi logis tertentu pada setiap langkah: limit ada pada beberapa langkah jika dan hanya jika ada pada langkah sebelumnya atau selanjutnya.
Anda benar bahwa tidak masuk akal untuk menulis$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$kecuali kita sudah tahu batasnya, tapi itu benar-benar hanya masalah tata bahasa. Tepatnya, pertama-tama Anda bisa mengatakan bahwa hasil bagi perbedaan dapat ditulis ulang$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, dan kemudian gunakan fakta bahwa$\lim\limits_{h\to 0}x=x$dan$\lim\limits_{h\to 0}h=0$serta hukum kelipatan konstan dan hukum penjumlahan untuk limit.
Menambahkan ke kalimat terakhir: sebagian besar properti limit yang sudah dikenal ditulis "mundur" seperti ini. Yaitu, "hukum jumlah batas" mengatakan$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ selama$\lim\limits_{x\to c}f(x)$dan$\lim\limits_{x\to c}g(x)$ada . Tentu saja, jika mereka tidak ada, maka persamaan yang baru saja kita tulis tidak ada artinya, jadi kita harus mulai dengan pernyataan itu.
Dalam praktiknya, seseorang biasanya bisa sedikit santai di sini, jika tidak ada alasan lain selain untuk menghemat jumlah kata. Namun, dalam kelas analisis intro, Anda mungkin ingin berhati-hati sebisa mungkin.
Jawaban lainnya baik-baik saja; hanya sebuah perspektif yang dapat menyelamatkan hari Anda dalam situasi di mana keberadaan batas sebenarnya adalah titik kritis.
Definisi penting adalah salah satu dari limsup dan liminf: ini selalu didefinisikan dengan baik, dan yang harus Anda ketahui saat ini adalah dua properti berikut:
- $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
- Batas dari$f$ada jika dan hanya jika$\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $, dan dalam hal ini batasnya sesuai dengan nilai ini.
Sekarang bayangkan Anda melakukan perhitungan dua kali: pertama, Anda menghitung liminf; kemudian Anda menghitung limsup. Dalam kedua perhitungan, segera setelah Anda sampai pada sesuatu yang sebenarnya memiliki batas (seperti$2x+h$), karena properti (2) Anda dapat melupakan cerita inf/sup dan hanya menghitung batasnya.
Karena dengan beberapa manipulasi Anda sampai pada sesuatu yang sebenarnya memiliki batas, kedua perhitungan akan memberikan hasil yang sama dan, karena properti (2) lagi, batas itu ada dan bertepatan dengan nilai yang baru saja Anda hitung.
Sekarang ini sebenarnya bukan hal yang harus Anda lakukan jika Anda melakukan analisis pendahuluan dan Anda tidak tahu liminf dan limsup: sifat formal dari keduanya sedikit berbeda dari sifat formal lim, dan Anda bisa berakhir dengan kesalahan. Tetapi selama Anda tidak "menyentuh" batas, dan Anda hanya membuat beberapa manipulasi di dalamnya, argumen yang sama akan terus berlanjut: jika Anda berakhir dengan hasil yang terdefinisi dengan baik, itu adalah batasnya :)
Apa yang kita miliki di sini harus benar-benar ditafsirkan sebagai beberapa pernyataan:
(1.) Jika$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $ada maka$ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ada dan sama dengan$\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.
(2.) Jika$ \lim_{h \to 0} [2x + h] $ada maka$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ada dan sama dengan$\lim_{h \to 0} [2x + h]$.
(3.) Jika$ \lim_{h \to 0} 2x$ada maka$ \lim_{h \to 0} [2x + h]$ada dan sama dengan$ \lim_{h \to 0} 2x$.
(4.)$ \lim_{h \to 0} 2x$ada dan sama dengan$ 2x $.
Perhatikan bahwa setelah kita memiliki (4.) bagian "jika" (bersyarat) dari (3.) terpenuhi dan seterusnya hingga (1.). Anda dapat melihat bahwa asumsi bahwa limit ada dalam pernyataan 1 sampai 3 bukanlah masalah karena Anda belum menggunakan asumsi tersebut untuk membuktikan bahwa memang demikian. Itu akan menjadi logika melingkar dan tidak baik.
Contoh log Anda berbeda dengan ini karena Anda tidak memiliki pernyataan yang mengambil peran pernyataan (4.) di atas, yang memungkinkan Anda untuk keluar dari kondisi. Anda hanya membuktikan bahwa$\log(0) = 0$JIKA$\log(0)$ada, bukan itu$\log(0)$ada! Ini sendiri bukanlah kesimpulan yang salah.
Jika Anda ingin lebih tepatnya, Anda dapat menulis:
$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$jika batasnya ada
$= \lim_{h→0} (2x+h)$jika batasnya ada
$= 2x$.
Artinya setiap baris hanya berisi "jika batasnya ada". Tetapi kita tidak perlu repot-repot melakukannya dalam banyak kasus karena dua alasan:
Biasanya cukup mudah untuk secara mental menambahkan kondisi seperti itu dan memeriksa bahwa kita sama sekali tidak bergantung pada keberadaan batas.
Jika kita mengizinkan ekspresi untuk mencapai "nilai tidak terdefinisi", dan mendefinisikan bahwa setiap ekspresi dengan subekspresi "tidak terdefinisi" itu sendiri tidak terdefinisi, maka kita bahkan tidak perlu menulis kondisi "jika batasnya ada"! Jika limit tidak ditentukan, maka "$\lim \cdots$" ekspresi hanya akan memiliki nilai "tidak terdefinisi", yang tidak akan mengarah pada kesimpulan yang salah.
Turunan tidak ada kecuali batas bagi hasil bagi perbedaan ada.
"Hukum limit" yang menyatakan bahwa limit dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah dari dua limit yang terpisah tidak dapat diterapkan kecuali jika ada dua limit yang terpisah. Perhatikan itu
Tidak ada kasus di mana dua batas terpisah ada dan batas jumlah tidak ada. Jika ada dua limit yang terpisah, demikian juga limit jumlah.
Namun, ada kasus di mana dua batas terpisah tidak ada dan batas jumlah ada. Situasi serupa yang berlaku untuk produk daripada jumlah muncul dalam sesuatu yang saya posting di sini baru-baru ini (saya tidak dapat menemukannya sekarang). Untuk salah satu dari dua faktor, limitnya tidak ada, tetapi fungsinya dibatasi dan oleh karena itu limit produk dapat ditemukan dengan meremas.
Masalahnya sebagian besar hilang jika kita hanya mempertimbangkan$\lim$dan$\log$eksplisit sebagai fungsi parsial . Fungsi parsial dapat dilihat sebagai fungsi yang kodomainnya berisi satu elemen tambahan ( dapat dibedakan! ), pada dasarnya adalah "nilai kesalahan".$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$di mana kita punya misalnya$$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$
Sekarang, hukum logaritma$$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$harus dipahami dengan "mengangkat"$+$operator, yang baru saja melewati kegagalan di kedua sisi. Tapi itu artinya untuk operator ini, kita tidak bisa menyimpulkan dari$p+q=p$itu$q=0$, karena$\text{ERR}+q$selalu _ $\text{ERR}$tanpa memedulikan! Sebaliknya, hanya dari$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$kita dapat menyimpulkan$q = \text{OK}(0)$. Jadi kita tidak sampai pada kesimpulan yang salah tentang$\log(0)$, karena itu bukan$\text{OK}$nilai.
Diterapkan pada batas-batas dalam diferensiasi, kita dapat langsung menulis$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$hanya mencatat bahwa hasilnya mungkin$\text{ERR}$. Apa yang juga dapat kita lakukan tanpa masalah adalah menulis ulang ekspresi di dalam batas dengan apa pun yang – sebagai fungsi$h\mapsto\ldots$– benar-benar ( secara ekstensif ) sama. Ini khususnya tidak masalah untuk$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$karena$h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$dan$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$benar-benar sama untuk semua$h\in\mathbb{R}$. Namun, pada titik ini kita tidak tahu apakah salah satu dari batas itu benar-benar ada – mungkin keduanya$\text{ERR}$, atau keduanya$\text{OK}$, tetapi pada tingkat apapun sama.
Untuk langkah selanjutnya kita memerlukan fakta bahwa limit menganggap argumennya hanya sebagai fungsi dengan bilangan bukan nol sebagai domain, karena hanya dianggap sebagai fungsi pada domain tersebut adalah$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$fungsi yang sama dengan$h\mapsto 2\cdot x+h$.
Dan hanya itu, pada titik ini kita dapat membaca bahwa batasnya memang$\text{OK}(2\cdot x)$dan kembali kita melihat bahwa batas lain juga pasti$\text{OK}$dengan nilai yang sama.
Perhatikan bahwa$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$tidak terdefinisi pada$h=0$dan itu, ketika$h \ne 0$,
$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$
Namun, fungsi$:x \mapsto 2x+h$didefinisikan, kontinu, dan memiliki nilai$2x$pada$h=0$.
Kita juga perlu menggunakan
$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$
Sisanya menyusul.
Tidak ada properti limit yang digunakan dalam argumen pertama sebelum langkah terakhir jadi sebenarnya apa yang telah kita lakukan di dalam limit hanyalah menulis ulang dan ketika kita mencapai langkah terakhir kita dapat menunjukkan keberadaannya menggunakan definisi epsilon-delta yang tampaknya berhubungan dengan masalah keberadaan , hal yang sama berlaku untuk hal aturan rantai karena setiap hal dalam pembuktian sebelum langkah terakhir hanyalah penulisan ulang dan langkah terakhir yang menggunakan sifat-sifat batas yang dibenarkan karena definisi epsilon delta berkaitan dengan masalah keberadaan, semoga ini membantu
Jika kita ingin benar-benar jelas, maka argumen untuk turunannya adalah sebagai berikut:$\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$dan$\lim\limits_{h\to0}2x+h$keduanya ada dan sama jika dan hanya jika setidaknya salah satunya ada. Sejak$\lim\limits_{h\to0}2x+h$sebenarnya ada dan ada$2x$, demikian juga batas lainnya (yaitu$\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) ada dan menjadi$2x$.
Ini tidak bekerja untuk contoh logaritma Anda: Anda dapat berargumen bahwa$\log0$dan$\log0+\log0$ada dan sama jika setidaknya salah satu dari keduanya ada. Tapi keduanya tidak ada, jadi intinya bisa diperdebatkan.