Bukti Teorema Fundamental kurva Ruang menggunakan Transformasi Kaku oleh Peter Baxandall (Kalkulus Vektor)

Aug 19 2020

Saya membaca kalkulus Vektor oleh Peter Baxandall yang membuktikan Teorema Fundamental kurva Ruang (Kurva dengan torsi dan kelengkungan yang sama identik kecuali mungkin posisinya) dengan cara berikut:

Buktinya, penulis berkata: Pilih salah satu $p \in E$. Memegang$C_g$ tetap dan bergerak $C_h$ kaku $\Bbb R^3$ sampai $T_h(p) = T_g(p) , \cdots$. Saya tidak melihat dengan jelas motif dan mekanisme penulis untuk melakukannya. Saya memahami transformasi kaku sebagai sesuatu yang mempertahankan panjang kurva. Namun, kita bahkan mungkin harus menggunakan rotasi untuk membuat vektor singgung satuan$T_g$ dan $T_h$sama. Tapi, di baris terakhir, dia akhirnya mengatakan itu$C_h$ adalah terjemahan dari $C_g$.

Juga, saya tidak dapat menemukan di mana penulis menggunakan fakta bahwa torsi dan kelengkungan kedua kurva itu sama .$$\phi = T_g \cdot T_h + N_g \cdot N_h + B_g \cdot B_h \\ \implies \phi' = T_g' \cdot T_h + T_g \cdot T_h' + N_g' \cdot N_h + N_g \cdot N_h' + B_g' \cdot B_h + B_g \cdot B_h'$$. Tapi sejak itu, kami sudah memiliki:$T_g=T_h,N_g=N_h,B_g=B_h$, jadi : $T_g⋅T_h'=0=T_g'⋅T_h$. Demikian pula, bagi yang lain, setiap perkalian titik ternyata sama$0$. Kami sepertinya belum menggunakan fakta bahwa torsi dan kelengkungan kedua kurva itu sama?

Bisakah seseorang menjelaskan apa yang sebenarnya terjadi. Terima kasih banyak!

CATATAN : $T,N,B$ mewakili satuan garis singgung, normal dan bi-normal - vektor

Jawaban

1 ChristianBlatter Aug 19 2020 at 16:31

Pernyataannya adalah itu $C_g$ dan $C_h$adalah "setara, hingga satu gerakan". Dalam buktinya penulis menggantikan$C_h$ dengan salinan kongruen (sekali lagi dilambangkan dengan $C_h$) dengan cara berikut: Dia memilih a $p\in E$ dan menerapkan rotasi $R$ dari ${\mathbb R}^3$ sedemikian rupa sehingga ortonormal triple yang asli $\bigl(T_h(p),N_h(p),B_h(p)\bigr)$ dipetakan ke triple $\bigl(T_g(p),N_g(p),B_g(p)\bigr)$. Saat ini perputaran konstan$R$ diterapkan ke $C_h$ kurva $R(C_h)=:C_h$ belum bertepatan dengan $C_g$, tetapi (pada kenyataannya) merupakan terjemahan dari $C_g$. Jika Anda mau, Anda dapat melamar sebagai tambahan terjemahan$A$ seperti yang $(A\circ R)(h(p))=g(p)$, tapi itu tidak perlu. Sebagai pembaca kami menerima tanpa basa-basi kurva yang dipindahkan$C_h$ kongruen dengan aslinya $C_h$.

Bagian tersulit dari pembuktian kemudian terdiri dari menunjukkan bahwa yang baru $C_h$ kongruen dengan $C_g$. Di sini rumus Frenet digunakan. Anda seharusnya benar-benar menghitung$\phi'$ untuk melihat bahwa persamaan $s\mapsto\kappa(s)$ dan $s\mapsto\tau(s)$ karena kedua kurva tersebut berperan dalam menunjukkan hal itu $\phi'=0$: $$\eqalign{\phi'&=(T_g\cdot T_h+N_g\cdot N_h+B_g\cdot B_h)'\cr &=T_g'\cdot T_h+T_g\cdot T_h'+N_g'\cdot N_h+N_g\cdot N_h'+B_g'\cdot B_h+B_g\cdot B_h')\cr &=\kappa N_g\cdot T_h+\kappa T_g\cdot N_h+(-\kappa T_g+\tau B_g)\cdot N_h+(-\kappa T_h+\tau B_h)\cdot N_g-\tau N_g\cdot B_h-\tau B_g\cdot N_h\cr &=0\ .\cr}$$

Pada akhirnya "persamaan" $C_g$ dan $C_h$ Berasal dari bagian keunikan untuk solusi ODE.