Buktikan bahwa jumlah jari-jari lingkaran

Question

$ABCD$adalah segiempat siklik. Buktikan bahwa jumlah jari-jari lingkaran yang digambar di dalam segitiga$\Delta ABC$ dan $\Delta CDA$ sama dengan jumlah jari-jari lingkaran yang digambar di dalam segitiga $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

Saya mendapat ide bahwa saya bisa menggunakan https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralsuntuk membuktikan bahwa jarak antara pusat adalah sama - mereka membuat persegi panjang - tapi saya tidak bisa menyelesaikannya. Tolong bantu.

Answer 1

Petunjuk. Gunakan Teorema Carnot: Diberikan segitiga$\Delta ABC$, biarkan $O$ menunjukkan sirkumsinya, $R$ circumradiusnya, dan $r$inradiusnya. Membiarkan$O_1,O_2,O_3$ juga proyeksi ortogonal $O$ ke $BC, CA, AB$masing-masing. Kami kemudian memiliki$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Perhatikan: Segmen $OO_i$ dianggap negatif jika $OO_i$ benar-benar terletak di luar $\Delta ABC$dan positif sebaliknya.

Sini,$\color{blue}{OO_2}$ akan menjadi negatif, sementara $\color{red}{OO_1, OO_3}$positif. Demi kenyamanan, biarkan$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Perhatikan itu$OO_3BO_1$ adalah segiempat siklik sejak $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, dan karenanya, Anda dapat menggunakan Teorema Ptolemeus untuk menyimpulkan $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$Secara analogi, Anda akan mendapatkan \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {kasus}

Tambahkan ini dan pertimbangkan persamaan terkenal $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (apakah Anda sekarang mengerti mengapa penting untuk dikonsumsi $OO_2$menjadi negatif?). Bagian pertama hanyalah konsekuensi dari pembagian$\Delta ABC$menjadi tiga segitiga dengan incenter sebagai simpul. Bagian kedua sepele. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Sekarang, kembali ke masalah Anda, agak mudah untuk menyelesaikannya begitu kami memiliki permata ini :)

(Saya akan merujuk ke gambar.) Perhatikan bahwa menggunakan Teorema Carnot dua kali, sekali untuk $\Delta ABD$ dan sekali lagi untuk $\Delta BCD$, kami dapatkan $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Perhatikan itu $OO_5$ negatif untuk $\Delta ABD$ dan positif untuk $\Delta BCD$. Jadi, jika Anda menambahkan dua persamaan ini, Anda akan mendapatkan$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Mudah untuk melihat bahwa ungkapan ini akan identik jika mengacu pada $r_3+r_4$.