Buktikan bahwa nomor ini habis dibagi 7 [duplikat]

Question

Tanpa menggunakan induksi, bagaimana bisa dibuktikan bahwa 7 pembelahan $3^{2n+1}+2^{n+2}$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$? Saya mencoba mengembangkannya dengan menggunakan$\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=1+x+..+x^n$tapi saya tidak berhasil. Akan lebih bagus jika lebih dari satu bukti diberikan.

Answer 1

\ begin {eqnarray *} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2}) x ^ n = \ frac {3} {1-9x} + \ frac {4} {1-2x} = \ frac {\ color {merah} {7} (1-6x)} {(1-9x) (1-2x)}. \ end {eqnarray *} Fungsi ini jelas memiliki koefisien integer \ begin {eqnarray *} \ frac {(1-6x)} {(1-9x) (1-2x)} = (1-6x) \ left (1 + 9x + 81x ^ 2 + \ cdots \ kanan) \ kiri (1 + 2x + 4x ^ 2 + \ cdots \ kanan). \ end {eqnarray *}

Answer 2

PETUNJUK: Sederhanakan $3^{2n+1}+2^{n+2}$ modulo $7$, menggunakan fakta itu $3^{2n+1}=3\cdot 3^{2n}$ dan $3^2\equiv2\pmod7$.

Answer 3

$3^{2n + 1} + 2^{n+2} = 3\cdot 3^{2n} + 2^2\cdot 2^n = 3\cdot(9)^n + 4\cdot s2^n\equiv 3\cdot(2)^n + 4\times 2^n = 7\cdot 2^n\equiv 0\pmod 7$.

Answer 4

$3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times9^n+4\times2^n=7\times2^n+3\times(9^n-2^n)$

$=7\times2^n+3\times(9-2)(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})=\color{red}7\times2^n+3\times\color{red}7(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})$