Buktikan bahwa ruang ganda $\ell^1$ aku s $\ell^{\infty}$

Question

Buktikan bahwa ruang ganda $\ell^1$ aku s $\ell^{\infty}$

Upaya saya : Saya mendapat jawabannya di sini tetapi saya tidak dapat memahami jawabannya

kita tahu bahwa norma $ x\in \ell^1$ diberikan oleh $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$

norma $ x\in \ell^{\infty}$ diberikan oleh $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$

Sekarang di sini bukti saya mulai :

Sejak $\ell^1$ berdimensi tak hingga karena mengandung deret tak hingga dalam bentuk $(0,0,\dots,1,0,\dots)$

Jadi ada dasar $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ dari $\ell^1$ dimana $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$

Ini menyiratkan bahwa setiap $x \in \ell^1$ dapat ditulis sebagai $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$

Sekarang ambil fungsi linier berbatas $f$ dari $\ell^1$

$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ didefinisikan oleh $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$

Setelah itu saya tidak dapat melanjutkan lebih jauh ..

Answer 1

Jelas, setiap elemen $v\in\ell^\infty$ mendefinisikan elemen dari rangkap $\ell^1$, sejak jika $v=(v_j)$ dan $x=(x_j)\in\ell^1$, kemudian $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ Membiarkan $\varphi\in(\ell^1)^*$ dan set $v_j=\varphi(e_j)$ dan $v=(v_j)$. Jelas$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ dan karenanya $v\in\ell^\infty$ dan $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$. Itu tetap menunjukkan itu$\varphi(x)=v(x)$, untuk semua $x\in\ell^1$ dan $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$.

Jelas, $\varphi(x)=v(x)$, untuk $x=e_j$ dan untuk semua $x$yang merupakan kombinasi linier hingga dari $e_j$'s. Keduanya juga merupakan fungsi linier terbatas, dan mereka setuju pada subset padat dari$\ell^1$, dan karenanya setuju di mana-mana, yaitu, $v\equiv \varphi$.

Untuk bagian terakhir, tetap menunjukkan itu $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$. Sekarang, untuk setiap$\epsilon>0$, ada vektor satuan $w=(w_j)\in\ell^1$, seperti yang $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ dan juga ada $n\in\mathbb N$, seperti yang $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, dimana $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ dan jelas $v(w(n))=\varphi(w(n))$. Begitu$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ dan ini benar untuk semua $\epsilon>0$, yang menyiratkan itu $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$.