Buktikan itu $2^{n}+1$ bukan kubus dari bilangan bulat untuk semua $n\in\mathbb{N}$ [duplikat]

Question

Buktikan itu $2^n+1$ bukan kubus untuk apapun $n\in\mathbb{N}$.

Saya berhasil membuktikan pernyataan ini tetapi saya ingin tahu apakah ada pendekatan lain yang berbeda dari saya.

Jika ada $k\in\mathbb{N}$ seperti yang $2^n+1=k^3$ kemudian $k=2l+1$ untuk beberapa $l\in\mathbb{N}$. Kemudian$(2l+1)^3=2^n+1 \iff 4l^3+6l^2+3l=2^{n-1}$. Saat saya mencari solusi integer, dari Teorema Akar Rasional$l$ harus berbentuk $2^j$ untuk $j=1,...,n-1$. Tapi kemudian

$$4(2^j)^3+6(2^j)^2+3\times2^j=2^{n-1} \iff 2^{2j+2}+3(2^{j+1}+1)=2^{n-1-j}$$

LHS ganjil yang menyiratkan bahwa $j=n-1$. Konyol.

Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Ini pendekatan yang berbeda.

Modulo $7$, tidak banyak kubus, jadi itu bisa menjadi tempat yang baik untuk menyelidiki masalah seperti itu:

$2^n+1\equiv 2, 3, $ atau $5\pmod7$, tapi $m^3\equiv0, 1, $ atau $6\pmod 7$.

Answer 2

Berikut adalah solusi berbasis paritas yang menghindari uji akar rasional.

Jika $2^n+1=m^3$, kemudian $2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$, jadi $m-1=2^k$ untuk beberapa $k\le n$, dan

$$2^n+1=\left(2^k+1\right)^3=2^{3k}+3\cdot2^{2k}+3\cdot2^k+1\,.$$

Kemudian $2^n=2^k\left(2^{2k}+3\cdot2^k+3\right)$, jadi $2^{n-k}=2^{2k}+3\cdot2^k+3$ ganjil dan lebih besar dari $1$, yang tidak mungkin.

Ditambahkan: Seperti yang bisa dilihat dari komentar di bawah, ada banyak cara untuk melanjutkan argumen ini setelah baris pertama. Saya mengambil apa yang saya anggap sebagai pendekatan ikuti hidung Anda, yaitu yang paling jelas, terus terang, belum tentu yang paling rapi. (Dan ngomong-ngomong tentang rapi, saya suka sekali dengan rtybase .) Lagi pula, hidung orang tidak selalu mengarah ke arah yang sama. :-)

Answer 3

Mengajukan argumen yang lebih kuat dari yang dibutuhkan untuk ini:

tidak ada solusi untuk $2^n+1=m^3$ (yaitu, $m^3-2^n=1$) oleh teorema Mihăilescu ,

yang menyatakan itu $2^3$ dan $3^2$ adalah dua pangkat dari bilangan asli

yang nilainya berurutan.

Answer 4

Seharusnya $2^n + 1 = k^3$. Kemudian$2^n = k^3 - 1 = (k^2 + k + 1)(k - 1)$. Jadi kedua faktor itu genap ($k = 2$tidak bekerja; faktor pertama paling tidak$3^2 + 3 + 1 = 13$, tidak mungkin 1). Tetapi faktor pertama selalu ganjil, kontradiksi.

Answer 5

Membiarkan $$2^n=m^3-1\\\implies 2^n=(m-1)(m^2+m+1)\\\implies(m-1)=2^a\text{ and }(m^2+m+1)=2^b\\\implies3m=(m^2+m+1)-(m-1)^2=2^b-2^{2a}$$ Sekarang, sejak $m$ aneh, kita harus punya $a=0$ atau $b=0$. Tapi$(m-1)<(m^2+m+1)$ menyiratkan $a=0$. Ini menyiratkan$m=2$ kontradiksi sejak $m$ pasti aneh.

Answer 6

Mari kita atur kubusnya menjadi $8m^3$ dan $8m^3+12m^2+6m+1$. Sebagai$8m^3$ adalah genap dan tidak berhasil $n=0$, itu tidak mungkin. Untuk yang kedua, mengabaikan$1$ Anda dapat memfaktorkannya $2m(4m^2+6m+3)$. Karena tidak ada yang alami di dalamnya$4m^2+6m+3=1$ tidak mungkin menjadi a $2^n$ untuk alam $n$.