Buktikan itu $f(W)$ adalah grafik $y_{n+1} = \varphi(y_1,\cdots,y_n)$
Membiarkan $f: U \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^{n+1}$ menjadi kelas $C^k,k\geq 1,$ dan $U$Buka. Jika untuk setiap$x\in U$, $$f(x) = (f_1(x),\cdots, f_{n+1}(x)) \text{ and }\det\bigg(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\bigg)_{1\leq i,j \leq n} \neq0,$$ kemudian, untuk setiap $x\in U$, di sana ada lingkungan $W\subseteq U$ dari $x$ seperti yang $f(W)$ adalah grafik dari a $C^k$ fungsi $y_{n+1} = \varphi (y_1,\cdots,y_n)$.
Mengatakan itu $f(W)$ adalah grafik $\varphi$ sama dengan mengatakan set berikut ini sama:
$\{(f_1(x),\cdots,f_{n+1}(x)): x\in W\} = \{((y_1,\cdots,y_n,\varphi(y_1,\cdots,y_n)): (y_1,\cdots,y_n)\in \text{Domain of $\ varphi$}\}$.
Dengan kata lain, saya harus membuktikan bahwa secara lokal memang ada fungsinya $\varphi$ tergantung pada koordinat sebelumnya $f_1,\cdots,f_n$.
Hal pertama yang saya perhatikan adalah itu $f'(x)$adalah transformasi linier injeksi. Memang, kami punya$n = \dim \ker f'(x) + \dim \text{im}f'(x) \geq n + \dim \ker f'(x) \geq n \implies \dim\ker f'(x) =0,$ sejak $f'(x)$ memiliki setidaknya $n$ garis independen linier.
Sekarang saya tidak tahu bagaimana tepatnya melanjutkan. Awalnya, saya bertanya-tanya menggunakan teorema pencelupan lokal (sejak$f'(x)$ adalah injektif), tetapi saya tidak dapat melihat cara menggunakan teorema ini untuk mengekspresikannya $f_{n+1}$ dalam hal yang lain.
Saya juga mempertimbangkan fungsinya $\pi:\mathbb R^{n+1} \rightarrow \mathbb R^n, (x_1,\cdots, x_{n+1}) \mapsto (x_1,\cdots, x_n).$
Begitu, $\pi(f(x)) = (f_1(x),\cdots,f_n(x)).$ Penulisan $g = \pi \circ f$, turunannya $g'(x)$ dapat dibalik, oleh karena itu, itu adalah difeomorfisme lokal dengan invers $h$. Karena itu,$\pi \circ f \circ h = g \circ h = I_d$ dan kita mempunyai $\pi(f(h(x_1,\dots,x_n) ) = (x_1,\cdots,x_n).$ Jika saya bisa "menyingkirkan" $\pi$ entah bagaimana, persamaan ini akan memberi saya itu $f(h(x_1,\cdots,x_n)) = (x_1,\cdots,x_n,\varphi(x_1,\cdots,x_n))$dan itulah yang perlu ditunjukkan. Tetapi saya tidak dapat menemukan cara yang jelas untuk mengatakan atau membenarkan hal ini.
Ada wawasan, petunjuk? Terima kasih.
Jawaban
Anda sangat dekat dengan kebenaran.
Saya akan menunjukkan poinnya $y\in{\mathbb R}^{n+1}$ oleh $(y',y_{n+1})$ dengan $y'=(y_1,\ldots, y_n)$, dan biarkan $\pi:\>{\mathbb R}^{n+1}\to{\mathbb R}^n$ jadilah proyeksi melupakan koordinat terakhir.
Pilih titik arbitrer $p\in U$, dan biarkan $f(p)=:q=(q',q_{n+1})$. Karena kita ada dimana-mana$${\rm det}\left({\partial f_i\over\partial x_k}\right)_{1\leq i,\,j\leq n}\ne0$$ ada lingkungan $W$ dari $p$ sedemikian rupa sehingga peta $$f':=\pi\circ f=(f_1,f_2,\ldots, f_n)$$ peta $W$ secara diffeomorphically ke lingkungan $V\subset{\mathbb R}^n$ intinya $q'\in{\mathbb R}^n$. Ada sebuah$C^1$-terbalik $$g:=\bigl(f'\bigr)^{-1}:\quad V\to W\ .$$ Itu $C^1$ fungsi $$\phi:=f_{n+1}\circ g:\quad V\to{\mathbb R}$$ memberikan untuk setiap poin $y'\in V$ koordinat terakhir $y_{n+1}$ dari suatu titik $y=(y',y_{n+1})\in{\mathbb R}^{n+1}$. Grafik ini$\phi$ adalah setnya $${\cal G}=\bigl\{\bigl(y',\phi(y')\bigr)\in{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}\bigm| y'\in V\bigr\}\ .$$ Catat itu $f(W)=(f\circ g)(V)$. Dari$$(f\circ g)(y')=\bigl((f'\circ g)(y'),(f_{n+1}\circ g)(y')\bigr)=\bigl(y',\phi(y')\bigr)\qquad(y'\in V)$$ akhirnya memang begitu $f(W)={\cal G}$.