Buktikan itu $x^2$ tidak terus menerus secara seragam

Question

Kami tahu itu $f(x)=x^2$ tidak terus menerus secara seragam sebagai suatu fungsi $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. Memang, biarkan$\epsilon=1$. Untuk apapun$\delta>0$, kami dapat memilih $\alpha>0$ cukup besar sehingga $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Lalu jika kita atur$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ kami temukan $|x-y|<\delta$, namun $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. Oleh karena itu$\epsilon-\delta$ definisi kesinambungan seragam dinegasikan dan itu $f$ tidak terus menerus secara seragam.

Sekarang jika $X\subset\mathbb{R}$ adalah set terbuka tak terbatas, bagaimana kita membuktikannya $f:X\rightarrow [0,\infty)$tidak terus menerus seragam? Saya mencoba mengikuti prosedur serupa seperti di atas, tetapi tidak berhasil. Kesulitan yang saya alami adalah saya tidak bisa memastikannya$y=\alpha+\delta/2\in X$, karena $X$ bisa menjadi set terbuka tak terbatas dengan interval terbuka yang lebih sempit sebagai $x$ meningkat, misalnya $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

Diberikan di atas, apakah ada cara untuk memodifikasi bukti di atas untuk $f:X\rightarrow [0,\infty)$kasus? Saya tidak tertarik untuk hanya diberi bukti, tetapi saya ingin tahu bagaimana bukti saya dapat dimodifikasi, atau jika dalam kasus ini tidak bisa dimodifikasi.

Answer 1

Itu tidak benar. Mempertimbangkan$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Catat jika$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, kemudian $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Diberikan $\epsilon > 0$, pilih $N > \frac3\epsilon$. Jika$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, dan $|x-y| < \tfrac12$, kemudian $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Dan sejak itu$f(x)$ terus menerus secara seragam $[0,N+1]$, kami dapat menemukan $\delta > 0$ dan $\delta < \tfrac12$ seperti itu jika $x,y \in [0,N+1]$, kemudian $|x-y| < \delta$ menyiratkan $|f(x) - f(y) < \epsilon$.