Buktikan Lemma Euclid umum dalam UFD menggunakan faktorisasi prima
Saya telah melihat banyak bukti untuk teorema ini: Dalam UFD if $(a,b)=1$ dan $a|bc$ kemudian $a|c$. Mereka kebanyakan menggunakan hukum distributif gcd misalnya di sini . Saya ingin membuktikan ini hanya dengan mengandalkan properti yang dimiliki UFD.
Upaya saya: Sejak $a|bc$ lalu untuk beberapa $r$ kita punya $ar=bc$. Sekarang dengan keberadaan, karena kita tahu bahwa ada elemen non-unit seperti$a$ dapat ditulis ulang sebagai $t_1×....t_n$ dimana $t_i$ tidak dapat direduksi, kita dapat melakukan ini:
$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (Dimana $p_i$, $g_i$, $q_i$ dan $h_i$adalah bilangan prima.) Menurut keunikan himpunan yang ada di kanan harus di kiri juga, apakah saya benar? Tapi sejak$(a,b)=1$ kemudian $a$ dan $b$tidak boleh berbagi elemen utama. Entah bagaimana rasanya$A$ adalah bagian dari $C$. Saya tidak bisa benar-benar mengatur ini tetapi ini menjadi seperti masalah dalam teori himpunan.
Bisakah Anda membantu saya dengan pendekatan saya sendiri ??
Jawaban
Anda sangat dekat. Mari kita lihat kembali persamaan yang Anda nyatakan: '
$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$
sesuai dengan $ar=bc$. Seperti yang Anda katakan, karena kita berada dalam UFD, himpunan bilangan prima, dihitung dengan multiplisitas, adalah sama di kedua sisi (hingga unit). Selanjutnya sebagai$(a,b)=1$ lalu tidak $p_i$ bisa membagi $b$. Sekali lagi dengan keunikan, itu artinya tidak$p_i$ bisa membagi $q_j$. Faktanya, kita bisa melangkah lebih jauh dan mengatakan tidak$p_i^{\alpha_i}$ bisa membagi $q_j$. Menyatukan ini, semua$p_i^{\alpha_i}$harus muncul dalam faktorisasi di sisi kanan (hingga satuan). Selanjutnya,$p_i^{\alpha_i}$ tidak bisa membagi $q_j$. Jadi, hingga unit, itu$p_i^{\alpha_i}$ harus masing-masing membagi beberapa $h_j^{\psi_j}$. Karenanya, semua faktor prima dari$a$ dihitung dengan pembagian multiplisitas $c$. Karenanya,$a \mid c$.
Ini memiliki bukti alami dengan induksi pada nomor tersebut $\:\!k\:\!$ faktor prima dari $\,a,\,$menggunakan sebagai langkah induktif Lemma Euclid (jika bilangan prima membagi produk maka ia membagi beberapa faktor). Jika$\,k=0\,$ kemudian $\,a\,$ adalah unit jadi $\,a\mid c.\,$ Lain $\,a = p\bar a\,$ untuk yang prima $\,p\,$ begitu $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ atau $\,p\mid c,\,$ begitu $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ oleh $\,(p,b)=1\,$ oleh $\,(p\bar a,b)=1$. Membatalkan$\,p\,$ dari $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ dan $\,(\bar a,b)=1\,$ oleh $\,(p\bar a,b)=1.\,$ Memperhatikan $\,\bar a\,$memiliki lebih sedikit faktor prima daripada$\,a=p\bar a,\,$ jadi $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (yaitu $\,a\mid c),\,$ dengan induksi.
Olahraga $ $Jadikan eksplisit semua penggunaan implisit dari keberadaan dan keunikan faktorisasi prima yang digunakan dalam pembuktian (perlu untuk benar-benar teliti).