Buktikan Lemma Euclid umum dalam UFD menggunakan faktorisasi prima

Dec 05 2020

Saya telah melihat banyak bukti untuk teorema ini: Dalam UFD if $(a,b)=1$ dan $a|bc$ kemudian $a|c$. Mereka kebanyakan menggunakan hukum distributif gcd misalnya di sini . Saya ingin membuktikan ini hanya dengan mengandalkan properti yang dimiliki UFD.

Upaya saya: Sejak $a|bc$ lalu untuk beberapa $r$ kita punya $ar=bc$. Sekarang dengan keberadaan, karena kita tahu bahwa ada elemen non-unit seperti$a$ dapat ditulis ulang sebagai $t_1×....t_n$ dimana $t_i$ tidak dapat direduksi, kita dapat melakukan ini:

$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (Dimana $p_i$, $g_i$, $q_i$ dan $h_i$adalah bilangan prima.) Menurut keunikan himpunan yang ada di kanan harus di kiri juga, apakah saya benar? Tapi sejak$(a,b)=1$ kemudian $a$ dan $b$tidak boleh berbagi elemen utama. Entah bagaimana rasanya$A$ adalah bagian dari $C$. Saya tidak bisa benar-benar mengatur ini tetapi ini menjadi seperti masalah dalam teori himpunan.

Bisakah Anda membantu saya dengan pendekatan saya sendiri ??

Jawaban

4 paulblartmathcop Dec 05 2020 at 20:48

Anda sangat dekat. Mari kita lihat kembali persamaan yang Anda nyatakan: '

$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$

sesuai dengan $ar=bc$. Seperti yang Anda katakan, karena kita berada dalam UFD, himpunan bilangan prima, dihitung dengan multiplisitas, adalah sama di kedua sisi (hingga unit). Selanjutnya sebagai$(a,b)=1$ lalu tidak $p_i$ bisa membagi $b$. Sekali lagi dengan keunikan, itu artinya tidak$p_i$ bisa membagi $q_j$. Faktanya, kita bisa melangkah lebih jauh dan mengatakan tidak$p_i^{\alpha_i}$ bisa membagi $q_j$. Menyatukan ini, semua$p_i^{\alpha_i}$harus muncul dalam faktorisasi di sisi kanan (hingga satuan). Selanjutnya,$p_i^{\alpha_i}$ tidak bisa membagi $q_j$. Jadi, hingga unit, itu$p_i^{\alpha_i}$ harus masing-masing membagi beberapa $h_j^{\psi_j}$. Karenanya, semua faktor prima dari$a$ dihitung dengan pembagian multiplisitas $c$. Karenanya,$a \mid c$.

3 BillDubuque Dec 05 2020 at 23:26

Ini memiliki bukti alami dengan induksi pada nomor tersebut $\:\!k\:\!$ faktor prima dari $\,a,\,$menggunakan sebagai langkah induktif Lemma Euclid (jika bilangan prima membagi produk maka ia membagi beberapa faktor). Jika$\,k=0\,$ kemudian $\,a\,$ adalah unit jadi $\,a\mid c.\,$ Lain $\,a = p\bar a\,$ untuk yang prima $\,p\,$ begitu $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ atau $\,p\mid c,\,$ begitu $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ oleh $\,(p,b)=1\,$ oleh $\,(p\bar a,b)=1$. Membatalkan$\,p\,$ dari $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ dan $\,(\bar a,b)=1\,$ oleh $\,(p\bar a,b)=1.\,$ Memperhatikan $\,\bar a\,$memiliki lebih sedikit faktor prima daripada$\,a=p\bar a,\,$ jadi $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (yaitu $\,a\mid c),\,$ dengan induksi.

Olahraga $ $Jadikan eksplisit semua penggunaan implisit dari keberadaan dan keunikan faktorisasi prima yang digunakan dalam pembuktian (perlu untuk benar-benar teliti).