Buktikan yang prima $p$ hanya bisa $13$ [duplikat]

Nov 28 2020

Mengingat bahwa $p$ adalah bilangan prima sehingga keduanya $\frac{p-1}{4}$ dan $\frac{p+1}{2}$ juga bilangan prima. Lalu buktikan itu $p=13$. Saya mencoba: Biarkan$p_1,p_2$ menjadi bilangan prima seperti itu $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ dan $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ Jadi kami mendapatkan, $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ Sekarang jika saya mulai menjaga nilai-nilai tentu saya mendapatkan $p_1=3,p_2=7,p=13$sebagai satu-satunya kembar tiga utama. Tapi apakah ada cara formal untuk membuktikannya$13$ adalah satu-satunya nilai $p$.

Jawaban

4 JohnOmielan Nov 28 2020 at 13:18

Kamu punya

$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Dengan $p_1$, pertimbangkan kemungkinan nilai modulo $3$. Jika itu$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$, kemudian $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$, yang tidak diizinkan sejak $p_2 \gt 3$. Bergantian, jika$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$, kemudian $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ begitu $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$. Satu-satunya kasus yang memungkinkan adalah di mana$p_2 = 2$ memberi $p = 3$, tapi kemudian $p = 4p_1 + 1$tidak bisa menahan. Ini menyisakan satu-satunya kasus yang mungkin di mana$p_1$, $p_2$ dan $p$ semuanya prima adalah dimana $p_1 = 3$, mengarah ke satu kasus Anda di mana $p = 13$.

2 ParclyTaxel Nov 28 2020 at 13:23

Seharusnya $p\equiv1\bmod3$, maka mudah untuk memverifikasi itu $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$, jadi $\frac{p-1}4=3$ dan $p=13$.

Seharusnya $p\equiv2\bmod3$, lalu dengan logika serupa $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ dan $p=7$, tapi kemudian $\frac{p-1}4$ tidak terpisahkan.

Sejak $p>3$ oleh $\frac{p-1}4$ menjadi prima, $p=13$.

1 labbhattacharjee Nov 28 2020 at 13:43

Jelas, $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$

Jadi jika $(p-1)/4>3,$

Antara $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$

$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$

Atau $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$