$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ dan tak terbatas
Satu pertanyaan:
- Jika definisi $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ dan ia tidak kosong, maka apakah itu berarti bahwa elemen-elemennya termasuk dalam perpotongan tak terhingga dari $A_n$ atau persimpangan terbatas apa pun dari $A_n$ untuk semua bilangan asli?
Untuk menguraikan lebih lanjut, saya ingin menunjukkan bagaimana perasaan saya terhadap notasi yang membingungkan ini $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Memahami Analisis Steven Abbott
Contoh 1.2.2 yang didefinisikannya $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Dengan induksi, itu tidak kosong untuk setiap persimpangan berhingga. Tetapi bukti dengan kontradiksi dapat menunjukkan bahwa ketika masuk ke kasus tak terbatas , yang menggunakan notasi$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, itu adalah set null. Dengan kata lain, dalam contoh ini, notasi ini digunakan untuk persimpangan tak hingga.
Teorema 1.4.1 yang membuktikan properti interval bersarang. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Di sini, tidak menentukan apakah ini persimpangan tak terbatas atau bukan. Sebaliknya, dikatakan,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Oleh karena itu, itu$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Dengan kata lain, dalam contoh ini, notasi ini digunakan untuk setiap bilangan asli hingga
Teorema 1.5.8 mengatakan Jika$A_n$ adalah set yang dapat dihitung untuk masing-masing $n\in N$, kemudian $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$dapat dihitung. Dengan kata lain, dalam contoh ini, notasi ini digunakan untuk persimpangan tak hingga.
Saya bingung dengan notasi ini dalam arti bahwa notasi tersebut termasuk tanda tak terhingga tetapi definisinya berarti setiap bilangan asli. Karenanya, setiap kali saya melihatnya, saya tidak tahu mana yang harus diterapkan.
Katakan jika saya pergi ke arah yang dapat diterapkan $\forall n\in N$, maka induksi akan bekerja karena induksi melakukan hal yang persis sama! Padahal, posting ini menyarankan sebaliknya dengan mengatakan notasi itu tentang tak terbatas .
Baiklah, saya mengganti arah dimana ini adalah tentang persimpangan tak terhingga. Tetapi kemudian dalam beberapa kasus, misalnya, yang saya sebutkan di atas, entah bagaimana jika sesuatu dapat diterapkan untuk semua bilangan asli, tidak masalah untuk menjadi bagian dari notasi ini.
Singkatnya, saya merasa bahwa notasi ini memiliki 2 makna yang saling bertentangan
- $\forall n\in N$
- Infinity
Saya telah melakukan penelitian dan mengajukan pertanyaan sebelumnya tetapi saya masih belum mengerti. Jadi saya rasa saya salah dan bingung dalam beberapa definisi.
Jawaban
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$adalah satu set. Set apa? Himpunan semua hal yang dimiliki setiap himpunan$A_n$ untuk $n\in\Bbb Z^+$. Membiarkan$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; kemudian$\bigcap\mathscr{A}$ artinya sama persis. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ hanyalah notasi biasa yang artinya tidak lebih atau kurang dari $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, dan $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Tidak ada$A_\infty$: itu $\infty$ hanyalah sinyal bahwa indeks $n$ adalah mengasumsikan semua nilai bilangan bulat positif.
Misalkan untuk setiap bilangan real positif $x$ Saya biarkan $I_x$ menjadi interval terbuka $(-x,x)$. Kemudian$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$adalah himpunan dari semua bilangan real yang dimiliki oleh setiap interval terbuka ini. Jika$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, kemudian
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Bagaimana aku tahu? Jika$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, kemudian $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, jadi setidaknya ada satu anggota $\mathscr{I}$ yang tidak mengandung $y$, dan oleh karena itu menurut definisi $y$ tidak berada di persimpangan set dalam keluarga $\mathscr{I}$. Di samping itu,$0\in(-x,x)=I_x$ untuk setiap $x\in\Bbb R^+$, jadi $0$ berada di persimpangan$\bigcap\mathscr{I}$.
Kami tidak pernah menggunakan induksi di mana pun. Dalam kasus set$A_n$ kami mungkin dapat menggunakan induksi pada $n$ untuk menunjukkan bahwa setiap set $A_n$ memiliki beberapa properti $P$, tetapi kami tidak dapat memperpanjang induksi itu untuk menunjukkannya $\bigcap\mathscr{A}$ memiliki $P$. Kita mungkin entah bagaimana bisa menggunakan fakta bahwa masing-masing$A_n$ memiliki properti $P$ untuk menunjukkan itu $\bigcap\mathscr{A}$ Juga memiliki $P$, tapi itu membutuhkan argumen terpisah; itu tidak akan menjadi bagian dari induksi. Argumen induksi dalam kasus itu akan membuktikan hal itu
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
argumen terpisah kemudian akan menunjukkan, dengan menggunakan hasil itu dan fakta-fakta lain, bahwa satu set $\bigcap\mathscr{A}$ memiliki properti $P$. Anda bisa memanggil set ini$A_\infty$jika Anda ingin melakukannya, tetapi itu hanya akan menjadi label; Anda bisa menyebutnya sama baiknya$A$, atau $X$, atau bahkan $A_{-1}$, meskipun begitu saja, saya tidak dapat membayangkan mengapa Anda ingin menggunakan label terakhir itu.
Dalam kasus set $I_x$ tidak ada kemungkinan menggunakan induksi untuk menunjukkan masing-masing $I_x$ memiliki beberapa properti: set ini tidak dapat didaftarkan sebagai $I_1,I_2,I_3$, dan seterusnya, karena jumlahnya yang tak terhitung banyaknya. Kami masih bisa membuktikan banyak hal tentang set$\bigcap\mathscr{I}$, bagaimanapun. Dan kami dapat memberikannya label yang nyaman.$\bigcap\mathscr{I}$informatif tetapi mungkin sedikit tidak nyaman; Saya mungkin memilih untuk memberinya label handier$I$.
Dalam kasus $\mathscr{A}$ kebetulan ada notasi adat yang menggunakan simbol $\infty$, Tapi itu hanyalah konsekuensi dari fakta bahwa set $A_n$diindeks oleh bilangan bulat. Kami melakukan hal yang persis sama dalam contoh dengan$\mathscr{I}$, tetapi dalam kasus itu tidak ada kemungkinan menggunakan batas $\infty$ di persimpangan, karena tidak ada cara untuk mengindeks kumpulan yang tak terhitung banyaknya $I_x$ dengan bilangan bulat.