Contoh sederhana dari $\sigma$-bidang dihasilkan oleh variabel acak (Pemeriksaan konsep)

Aug 21 2020

$\Omega = \{ {\omega_1, \omega_2,\omega_3} \}$ di mana setiap negara bagian memiliki kemungkinan yang sama.

Ada dua variabel acak $\widetilde{x}$ dan $\widetilde{y}$ itulah fungsi dari status berikut:

$\widetilde{x}(\omega_i)=a_i$ dimana $a_1 \neq a_2 \neq a_3$

dan

$\widetilde{y}(\omega_1) = b_1$ dan $\widetilde{y}(\omega_2) = \widetilde{y}(\omega_3)=b_2.$

Pertanyaannya adalah, apa itu $\sigma$-bidang dihasilkan oleh $\widetilde{y}?$

Saya pikir jawabannya adalah $F = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_3 \} \}$ karena alasan berikut:

  1. $A \in F \subseteq \Omega $
  2. $A \in F \implies A^c \in F$
  3. Perpotongan sejumlah elemen dari $F$ adalah elemen dari $F$.
  4. Penyatuan sejumlah elemen $F$ adalah elemen dari $F$
  5. $\omega_2$ dan $\omega_3$ tidak dapat dibedakan satu sama lain sehingga kami tidak perlu menyertakannya $\{\omega_2\}$ maupun $\{\omega_3\}$ di $F$.

Apakah itu benar?

Juga, karena pertanyaannya tentang $\widetilde{y}$ informasi apapun tentang $\widetilde{x}$ tidak relevan, bukan?

Selain itu, probabilitas setiap negara bagian juga tidak relevan ketika mempertimbangkan $\sigma$-field, kan?

Jawaban

7 whuber Aug 21 2020 at 03:47

Anda benar, tetapi Anda mungkin menghargai mengetahui cara menemukan bidang sigma ini menggunakan definisi:

Bidang sigma dihasilkan oleh variabel acak $X:\Omega\to\mathbb{R}$ terdiri dari semua gambar terbalik $X^{-1}(B)$ dari set Borel $B\subset \mathbb{R}.$

Karena $y$ hanya memiliki dua kemungkinan nilai $b_1$ dan $b_2,$ ada persis empat jenis set Borel $B$ berhubungan dengan $y:$

  1. $b_1\in B$ dan $b_2\in B.$ Pada kasus ini, $y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}= \Omega.$

  2. $b_1\in B$ tapi $b_2\notin B.$ Sekarang $y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_1\}.$

  3. $b_1\notin B$ namun $b_2\in B.$ Sekarang $y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_2,\omega_3\}.$

  4. $b_1\notin B$ dan $b_2\notin B.$ Jelas $y^{-1}(B) = \emptyset.$

Itu saja - kami telah mencantumkan dengan tepat elemen yang Anda berikan $\mathfrak F.$

(Secara implisit, kami telah menggunakan fakta bahwa set Borel membentuk bidang sigma; setiap bilangan real adalah elemen dari beberapa himpunan Borel; dan dua bilangan real yang berbeda dapat dipisahkan oleh himpunan Borel dalam arti salah satunya ada di dalamnya set dan yang lainnya berada di luarnya.)

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dan diingat:

  • Anda tidak harus mendemonstrasikan propertinya $(1)-(4)$(dalam pertanyaan Anda) dari bidang sigma. Karena set Borel$\mathbb R$ membentuk bidang sigma, tentu koleksi gambar terbalik mereka di bawah $y$membentuk bidang sigma. Itu dibuktikan dengan teori himpunan dasar dan Anda hanya perlu membuktikannya sekali, tidak setiap kali Anda berurusan dengan variabel acak.

  • Bidang sigma untuk $y$adalah dihasilkan oleh gambar kebalikan dari setiap pi-sistem yang menghasilkan set Borel dari$\mathbb R.$ Sistem pi standar terdiri dari himpunan formulir $(-\infty, a]$yang digunakan untuk menentukan fungsi distribusi. Meskipun pengamatan ini tidak akan menyederhanakan latihan ini, itu sangat menyederhanakan pertimbangan yang melibatkan variabel acak yang lebih rumit.

  • Bidang sigma secara logis sebelum probabilitas: Anda tidak dapat menentukan probabilitas sampai Anda memiliki bidang sigma. Anggap saja seperti ini: bidang sigma adalah deklarasi (oleh Anda, pemodel) peristiwa apa yang dapat Anda tetapkan probabilitas. Anda tidak dapat membuat tugas itu sampai Anda tahu acara apa ini! (Kebutuhan akan hal ini mengemuka dalam situasi kompleks di mana terdapat banyak variabel acak tak terhingga untuk dianalisis: yaitu, untuk proses stokastik pada kumpulan indeks tak terhingga.)