Dapatkah sistem yang tidak konsisten menarik / berguna secara matematis?
Menurut jawaban teratas untuk pertanyaan ini:
Dalam matematika kita sering memiliki gagasan tentang suatu objek yang ingin kita wakili secara formal, ini adalah gagasan . Kami kemudian menulis aksioma untuk menjelaskan gagasan ini dan mencoba untuk melihat apakah aksioma-aksioma ini kontradiktif. Jika tidak (atau jika kami tidak dapat membuktikannya) kami mulai bekerja dengan mereka dan mereka menjadi definisi . Matematikawan dipandu oleh gagasan tetapi mereka bekerja dengan definisi tersebut. Jarang sekali gagasan dan definisinya sama, dan Anda memiliki objek matematika yang persis seperti yang menurut intuisi [ahli matematika] kami.
Memformalkan intuisi matematis kita tampaknya menjadi bisnis yang rumit, terutama karena intuisi kita sering kali kontradiktif, yang menyebabkan semua jenis paradoks veridis yang membingungkan. Selain itu, Gödel telah menunjukkan bahwa hal itu tidak bisa dilakukan dengan cara yang konsisten dan lengkap, sehingga ketika kita melakukan menemukan formalisasi non-kontradiktif, kita harus mengorbankan kelengkapan.
Tapi bagaimana jika kita menyerah pada konsistensi? Sistem yang tidak konsisten daripada yang konsisten mungkin memungkinkan kita untuk memformalkan intuisi kita (seringkali tidak konsisten) dengan lebih realistis, jika juga kurang berguna.
Sayangnya, prinsip ledakan tampaknya mensyaratkan bahwa sistem seperti itu pada dasarnya tidak berarti karena setiap pernyataan akan menjadi benar dan salah. Namun, mungkin ada cara lain untuk melakukannya. Misalnya, kita dapat membatasi aturan inferensi logis dengan cara yang mencegah prinsip ledakan. Atau kita dapat membatasi semua bukti hingga di bawah panjang tertentu (sesuai dengan jumlah terbatas langkah intuitif yang dapat dipegang seseorang di kepala pada saat yang sama).
Apakah ini pernah dicoba sebelumnya? Mungkinkah itu mencerahkan / berguna sebagai model intuisi matematika manusia?
CATATAN: Dari sudut pandang filosofis daripada matematika, banyak agama / sistem pemikiran dengan senang hati mengorbankan konsistensi untuk mengakomodasi kontradiksi yang melekat dalam intuisi manusia. Buddhisme Zen mungkin adalah contoh yang paling terkenal, dan Taoisme melakukan hal serupa jika tidak terlalu ekstrim. Saya juga membaca buku GK Chesterton "Orthodoxy" di mana dia menggambarkan sistem kepercayaannya (dia adalah seorang Kristen), dan dia menegaskan bahwa kepatuhan penuh pada logika dan alasan menyebabkan kegilaan dan konsekuensi yang tidak masuk akal, dan gagal menangkap kekayaan kontradiksi dalam pikiran dan kenyataan.
Jawaban
Ya, sistem seperti itu memang telah diselidiki - istilah kuncinya termasuk "logika paraconsistent" dan "logika relevansi." Re: sumber, Chris Mortensen telah menulis artikel ringkasan dan buku tentang topik tersebut, meskipun yang terakhir memiliki beberapa masalah (lihat di sini ).
Istilah penting lainnya di sini adalah "dialetheisme". Sangat kasar, logika paraconsistent dll. Logika adalah toleran paradoks dalam arti bahwa untuk teori dalam logika seperti itu, ketidakkonsistenan belaka tidak menyiratkan hal sepele. Dialetheisme adalah pendirian filosofis bahwa ada kontradiksi yang benar. Graham Priest telah menulis banyak tentang topik tersebut (lihat misalnya di sini ).
Yang mengatakan, saya tidak benar-benar menyadari upaya yang masuk akal untuk menyiasati teorema ketidaklengkapan pertama dengan cara ini: Saya tahu tidak ada kandidat alami untuk teori dalam logika paraconsistent yang secara komputasi dapat aksiomatizable, berisi $\mathsf{Q}$sebagai sub teori (katakanlah), lengkap, dan masuk akal tidak sepele. Kita bisa menyiasati teorema ketidaklengkapan kedua dalam arti yang lemah, namun: buku Mortensen membahas aritmatika relevansi tertentu yang berisi orde pertama klasik$\mathsf{PA}$ tapi yang nontriviality adalah $\mathsf{PA}$-bukti. (Karena nontriviality tidak menyiratkan konsistensi dalam konteks ini, ini sebenarnya tidak melanggar teorema ketidaklengkapan kedua.) Aplikasi penting lainnya adalah kemampuan logika paraconsistent untuk memahami teori himpunan naif; lihat misalnya di sini .