Definisi Matematika Power [duplikat]

Question

Saya seorang siswa sekolah menengah yang bermain-main dengan beberapa persamaan, dan saya mendapatkan rumus yang tidak dapat dibayangkan secara fisik.

\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}

Saya membedakan Pekerjaan menggunakan rumus bentuk vektornya $\vec F \cdot \vec r$Jadi saya mendapatkan rumus ini dengan menerapkan aturan hasil kali. Jika dalam rumus ini$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (Gaya konstan), maka rumus menjadi $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ yang masuk akal, tetapi rumus ini juga menyarankan jika $\frac{d\vec r}{dt}=0$ maka rumus kekuatan menjadi $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$, yang menyiratkan bahwa jika kecepatannya nol, itu tidak berarti bahwa Daya benda juga akan nol!

Tetapi saya tidak menemukan ini di buku teks sekolah menengah saya dan saya tidak dapat memikirkan contoh di atas kepala saya di mana situasi ini benar.

Dari apa yang saya dengar dan baca, jika kecepatan benda nol maka daya juga nol.

Bisakah seseorang menjelaskan dugaan kesalahpahaman saya atau memberi saya contoh situasi di mana hal ini terjadi?

Answer 1

Pekerjaan yang dilakukan oleh suatu gaya tidak ditentukan oleh $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. Sebaliknya, pekerjaan didefinisikan dalam istilah integral garis di atas sebuah jalur (persamaan Anda hanya menetapkan suatu gaya dan posisi, yang tidak sesuai dengan apa yang kami maksud dengan pekerjaan yang dilakukan oleh suatu gaya). Kita punya

$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$

Jadi saat kita punya $P=\text dW/\text dt$ kita baru saja

$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$

Jadi tidak ada $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$istilah dalam ekspresi untuk kekuasaan. Ini bekerja secara konseptual juga: keluaran daya suatu gaya tidak harus secara langsung bergantung pada posisi partikel (yaitu lokasi asal) yang dimaksud.

Answer 2

Pekerjaan didefinisikan sebagai $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Daya, P, adalah dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.

Hubungan Anda untuk pekerjaan tidak benar, jadi hubungan Anda untuk kekuasaan (hubungan kotak dalam pertanyaan Anda) tidak benar.

Answer 3

Seperti yang telah dijawab orang lain, $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ adalah penyederhanaan dan hanya berfungsi dalam kasus konstanta khusus $\mathbf F$. Dan begitu juga rumus Anda.

Salah satu cara untuk melihatnya secara fisik adalah dengan menyadari bahwa pekerjaan bukanlah fungsi dari posisi. Secara matematis kami biasanya mendeskripsikannya menggunakan konsep inexact differential:

$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$

Notasi ini digunakan untuk menggarisbawahi fakta bahwa Anda dapat mengintegrasikan kedua sisi dan mendapatkan nomor yang sama, tetapi Anda tidak dapat mengatur ulang rumus ini dan pada kenyataannya Anda tidak dapat (dalam kasus umum) mengungkapkan $\mathbf F$ menggunakan $W$.

Contoh perbedaan yang tepat dan apa yang memungkinkan Anda untuk melakukannya:

$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$

PS Ada beberapa kasus khusus di mana Anda dapat menulis $\mathbf F = \nabla \, W$, dalam kasus tersebut dikatakan demikian $\mathbf F$ adalah kekuatan potensial.

Answer 4

Ketika Anda mengambil turunan, sangat penting untuk mengetahui dengan jelas apa fungsi dari apa.

Dalam definisi kerja, gaya adalah fungsi dari posisi, bukan waktu. Ini berarti bahwa meskipun Anda pasti bisa bergerak dalam medan gaya yang bervariasi dalam waktu, yang penting adalah gaya yang Anda ukur di setiap langkah di jalur Anda terlepas dari bagaimana gaya ini di masa lalu atau di masa depan.

Answer 5

Jawaban lain membahas hal-hal aneh seperti integral dan diferensial. Jawaban ini mencoba untuk memenuhi OP di mana mereka berada: itu ditargetkan pada tingkat matematika yang digunakan dalam soal dan dimulai dengan rumus$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.

Agaknya alasan Anda mulai dengan formula ini adalah bahwa Anda tidak menemukannya di buku sekolah tinggi Anda dan diajarkan di sekolah. Itu karena rumusnya benar, tidak seperti yang dikatakan beberapa jawaban lainnya. Tetapi Anda perlu memahami dua hal untuk menerapkannya dengan benar:

1. Itu membutuhkan $\vec{F}$ menjadi konstan.
2. Itu membutuhkan $\vec{r}$menjadi perubahan posisi saat objek terkena gaya$\vec{F}$. Ini akan lebih baik ditulis sebagai$\Delta \vec{r}$. [1]

Sekarang mari kita lihat masalah Anda:

jika $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ maka rumus kekuatan menjadi $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, yang menyiratkan bahwa jika kecepatannya nol, itu tidak berarti bahwa Daya benda juga akan menjadi nol

Pernyataan ini gagal menjelaskan dua hal yang dibahas di atas:

1. Ia tidak mengakui itu $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
2. Ia tidak mengakui itu $\vec{r}$, yang sebenarnya $\Delta \vec{r}$, tidak berarti apa-apa jika kecepatan adalah nol. (Untuk mengatasi titik ini benar, kita lakukan integral kebutuhan - lihat jawaban lainnya.)

[1] Bagi yang tahu tentang listrik, ini seperti yang sering orang tulis $V$ ketika mereka benar-benar bermaksud $\Delta V$.